Math 如何找到与另一个位字段异或的位字段子集？

我有一道数学题。我有一堆位字段，我想计算它们的哪些子集要异或在一起以获得某个其他位字段，或者如果没有办法，则发现不存在这样的子集

我希望使用一个免费的库而不是原始代码来实现这一点，并且我非常喜欢使用Python绑定（使用Python的内置数学库也是可以接受的，但我希望最终将其移植到多种语言）。另外，最好不要因为必须将每一位扩展到自己的字节而受到内存的冲击

进一步澄清：我只需要一个解决方案。我的矩阵与稀疏矩阵相反。我对将运行时间保持在绝对最小非常感兴趣，因此强烈建议使用算法上奇特的方法来反转矩阵。另外，非常重要的一点是，特定的给定位字段必须是输出的位字段，因此，一种只查找xor为0的子集的技术并不能完全消除它

我通常知道高斯消去法。我尽量避免从头开始做这件事

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交叉发布到mathoverflow，因为不清楚这个问题的正确位置是-

从数学上讲，两位的异或可以被视为F_2字段中的加法

你需要解F_2场中的一组方程。对于具有位（a_0，a_1，…a_n），（b_0，b_1，…，b_n），（c_0，c_1，…，c_n），（r_0，r_1，…，r_n）的四个位域，可以得到以下等式：

x * a_0 + y * b_0 + z * c_0 = r_0
x * a_1 + y * b_1 + z * c_1 = r_1
...
x * a_n + y * b_n + z * c_n = r_n

（在这里查找x，y，z）

你可以用

glpk

将其编程为一个简单的整数线性问题，可能是

lp_solve

（但我不记得它是否合适）。不过，这些方法可能工作得很慢，因为它们试图解决更普遍的问题

在谷歌搜索了一段时间后，这似乎是寻找代码的一个良好开端。从描述来看，

Dixon

和

LinBox

似乎很适合

不管怎样，我想问mathoverflow可能会给你更准确的答案。如果有，请在此处链接您的问题

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更新：用于解决此问题。（对我来说）这是一个非常好的建议。

对于容易放入内存的小实例，这只是求解F_2上的线性系统，所以尝试mod-2高斯消去法。对于非常大的稀疏实例，如在因子分解（筛）算法中出现的实例，请查阅Wiedemann算法。

可以将多个子集xor设置为相同的值；您是否关心查找所有子集

一种可能很严厉的方法是过滤位字段的powerset。在哈斯克尔：

import Data.Bits

xorsTo :: Int -> [Int] -> [[Int]]
xorsTo target fields = filter xorsToTarget (powerset fields)
  where xorsToTarget f = (foldl xor 0 f) == target

powerset [] = [[]]
powerset (x:xs) = powerset xs ++ map (x:) (powerset xs)

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不确定是否有方法在不生成电源集的情况下执行此操作。（在最坏的情况下，解决方案实际上可能是整个功率集）。

根据上面liori的答案展开，我们有一个线性方程组（模2）：

高斯消去法可用于求解该系统。在模2中，addrow操作变成了XOR操作。在计算上比使用一般线性系统解算器要简单得多

所以，如果a0为零，我们交换一行，在a位置有一个1。然后对“a”位为1的任何其他行执行XOR（使用第0行）。然后使用第1行和第b列、第2行和第c列等重复上述操作

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如果在r列中得到一行非零的零，那么子集DNE。

该方法在指数时间内产生一个解。我想要一个多项式时间的解，重要的是我得到一个特定的位域，而不是所有的零（修改我的问题来澄清这一点），这正是这样做的。r0rn是特定的位字段（因此，如果r0rn为全零，则仅为全零），其中（a、b、c…）是字段集（子集的可能元素）。在高斯消去之后，最右边的列成为子集中包含的有序集合（如果包含，则为1，如果不包含，则为0），我不认为这会花费您太长的时间从头开始编写代码（尽管我不知道python是什么样子）；这是一个非常迭代的算法。它得到的答案是O（n^3）。倒矩阵可能更好，但可能只有当它们是正方形的时候。哦，我明白你现在说的了。是的，这很有效，可能就是我所需要的，尽管看起来我可能不得不从头开始实现。m4ri看起来很有希望，但天啊，通用库不应该是GPL！

a0, b0, c0 ...| r0
a1, b1, c1 ...| r1
...           |
an, bn, cn ...| rn