Math 找到2个知道其叉积和一个约束的向量

我必须在三维空间中找到两个向量，

a

和

b

这样的

a x b=c

，其中

c

是已知的。我还知道一个约束条件，假设

a_y=0

所以我必须在

（c_x）x+（c_y）y+（c_z）z=0

平面上寻找这两个向量，对于向量

a

，我可以将它简化为

（c_x）x+（c_z）z=0

对于向量

b

，因为它垂直于

a

，所以它必须在

（a_x）x+（a_z）z=0

平面和

（c_x）x+（c_y）y+（c_z）z=0

平面的交点上
在添加叉积方程之后，我有

4

方程和

5

未知数

（a_x，a_z，b_x，b_y，b_z）

。我如何解决这个问题？
提前谢谢

编辑：也许解释一下我需要这些东西的原因会有所帮助。
我有相机的方向向量，我需要指向屏幕右侧的向量，第二个指向上

问题定义

A,B=?
C=!
Ay=!
A x B = C

由垂直度引起的点和叉积的隐含性质：

(A.C) = 0
(B.C) = 0
|A|.|B| = |C|

将其中一个向量的

长度设置为任何已知常数，如
1

|A|=1
|B|=|C|

约翰·默勒在评论中也提到了这一点

计算

A

|A|=1
|B|=|C|

因此，

| A |=1的长度和
（A.C）=0的点积是垂直的，因此：

    Ax^2 + Ay^2 + Az^2 = 1
    Ax.Cx + Ay.Cy + Az.Cz = 0

这是由
2
方程和
2
未知数组成的系统，所以求解它。它将导致
2
解决方案选择一个非零的解决方案

计算

B

|A|=1
|B|=|C|

我们知道

B

垂直于

C

so

（B.C）=0

，因此将约束放在一起：

A x B = C
Bx.Cx + By.Cy + Bz.Cz = 0
Bx^2 + By^2 + Bz^2 = Cx^2 + Cy^2 + Cz^2

如果展开叉积，将得到

5

方程和

3

未知数。因此，求解系统（选择非平凡方程的任意

3

）

PS这似乎是为了生成NEH矩阵类比

因此，如果是这种情况，所有3个向量都相互垂直，而其中一个指向特定方向（

Up

或

North

…），并且所有向量的大小通常都是

1

因此，假设

D

向量是已知的对齐向量：

A'= C x D
B = C x A'
A = C x B

您可以更改操作数的顺序以获得所需的方向。如果

D

未知，则您可以使用

（1,0,0）

或

（0,1,0）

或

（0,0,1）

来选择与

C

不平行的代码。。。或具有最大的

（C.D）

。另请看：

[Notes]

点积：

（A.B）=Ax.Bx+Ay.By+Az.Cz

交叉积：

A x B

长度：

A=sqrt（Ax^2+Ay^2+Az^2）

问题定义

A,B=?
C=!
Ay=!
A x B = C

由垂直度引起的点和叉积的隐含性质：

(A.C) = 0
(B.C) = 0
|A|.|B| = |C|

将其中一个向量的

长度设置为任何已知常数，如
1

|A|=1
|B|=|C|

约翰·默勒在评论中也提到了这一点

计算

A

|A|=1
|B|=|C|

因此，

| A |=1的长度和
（A.C）=0的点积是垂直的，因此：

    Ax^2 + Ay^2 + Az^2 = 1
    Ax.Cx + Ay.Cy + Az.Cz = 0

这是由
2
方程和
2
未知数组成的系统，所以求解它。它将导致
2
解决方案选择一个非零的解决方案

计算

B

|A|=1
|B|=|C|

我们知道

B

垂直于

C

so

（B.C）=0

，因此将约束放在一起：

A x B = C
Bx.Cx + By.Cy + Bz.Cz = 0
Bx^2 + By^2 + Bz^2 = Cx^2 + Cy^2 + Cz^2

如果展开叉积，将得到

5

方程和

3

未知数。因此，求解系统（选择非平凡方程的任意

3

）

PS这似乎是为了生成NEH矩阵类比

因此，如果是这种情况，所有3个向量都相互垂直，而其中一个指向特定方向（

Up

或

North

…），并且所有向量的大小通常都是

1

因此，假设

D

向量是已知的对齐向量：

A'= C x D
B = C x A'
A = C x B

您可以更改操作数的顺序以获得所需的方向。如果

D

未知，则您可以使用

（1,0,0）

或

（0,1,0）

或

（0,0,1）

来选择与

C

不平行的代码。。。或具有最大的

（C.D）

。另请看：

[Notes]

点积：

（A.B）=Ax.Bx+Ay.By+Az.Cz

交叉积：

A x B

---

长度：

| A |=sqrt（Ax^2+Ay^2+Az^2）

添加对A长度的假设（如A|x^2+A|z^2=1）应该可以做到这一点。@JohnMoeller我同意。。。我的答案基于它和向量的数学性质……加上一个关于a长度的假设（比如a_x^2+a_z^2=1）就可以了。@JohnMoeller我同意。。。我的答案基于它和向量的数学性质。。。