Math 有限域中乘法逆的计算

我写了一个函数

对于非零有限域元a，b∈ （pm），计算s和t，使sa+tb=1是否有一种方法可以使用

xgcd

计算字段中的乘法逆？即，给定∈ GF（pm），我想计算b，使得ab=1∈ GF（下午）

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我还实现了这些函数

(+)       :: FFElem -> FFElem -> FFElem
(-)       :: FFElem -> FFElem -> FFElem
(*)       :: FFElem -> FFElem -> FFElem
(^)       :: FFElem -> Integer -> FFElem
ffQuotRem :: FFElem -> FFElem -> (FFElem, FFElem)
degree    :: FFElem -> Integer

其中，

（+）

，

（-）

，

（*）

，

（^）

，和

ffQuotRem

的行为与您预期的一样，

度

通常用于有限域（域元素的多项式表示度）

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（答案不一定要用哈斯凯尔语。）

以下是找到答案的一些步骤。首先，考虑环<代码> Z/NZ ，这是一个字段，如果<代码> N< /代码>是Prime。我们可以给出一个简单的例程来计算元素

a

-- | Compute the inverse of a in the field Z/nZ.
inverse' a n = let (s, t) = xgcd n a
                   r      = s * n + t * a
                in if r > 1
                    then Nothing
                    else Just (if t < 0 then t + n else t)

这告诉我们多项式的阶数，还有一个部分函数

project :: Integral a => Polynomial -> Maybe a

它以一种显而易见的方式将一个0次多项式投影到它的底层字段。所以如果你知道

n

和

p

，那么

-- |Compute the inverse of a in the finite field K[x]/p with K=Z/nZ
inverse a (n, p) = let (s, t) = xgcd p a
                       r      = s * p + t * a
                    in if degree r > 0
                         then Nothing
                         else let Just r' = inverse' (project r) n
                               in Just $ r' * t

---

另外，如果我这样做，我可能会在Haskell中的

Integral

类定义的基础上，定义一个新类

class Integral a => FiniteField a where
    degree  :: a -> Integer
    xgcd    :: a -> a -> (a, a)
    inverse :: a -> a

其中会有一些简单的实例（prime字段，可以用以下数据类型表示）

非素数有限域的更复杂实例，其元素是多项式，可能用

映射表示-

data NonPrimeField = NPF {
    prime     :: Integer
  , maxDegree :: Integer
  , element   :: Map Integer Integer
}

一种更为理论化的方法来补充Chris令人敬畏的答案：

给定F=Z/（p），F[x]中的F和u，可以使用扩展的欧几里德算法来求F[x]中的v和w，从而

uv + fw = gcd(u, f)

现在，如果
f
是不可约的，并且
u
不能被
f
整除，那么它们的最大公约数
r=gcd（u，f）
是一个单位。也就是说，
vu+wf=r
，其中r位于
F\{0}
。从这个等式可以得到同余：

uv = r (mod f)       <=>        uvr⁻¹ = 1 (mod f)

uv=r（模f）uvr⁻⑩=1（f型）

其中r-1是F中r的乘法逆

因此，
u
的同余类的乘法逆是
vr⁻在F[x]/（F）中使用\
。
您的
xgcd
函数计算什么？你如何定义一个字段中的最大公约数，其中每个非零元素除以每个非零元素？@Joni:我现在明白你的意思了。这不是gcd的正常定义。我更新了问题以反映这一点。
xgcd
真正计算的是什么？给定非零的
a
，对于字段中的每个
t
，您可以找到满足该方程的
s=（1-tb）/a
，因此
xgcd
不能仅由该方程很好地定义…@Joni:我真的把这个问题搞砸了。。。设F=Z/pZ，F（x）在F[x]中不可约，且GF（p^m）=F[x]/（F（x））。我的错误是，
xgcdab
实际上在F[x]中运行，而不是F[x]/（F（x））。也就是说，它计算F[x]中的s和t，使得sa'+tb'=gcd（a'，b'），其中a'，b'分别是同余类a，b中的最小阶元素。我会更仔细地考虑，并在接下来的几天内设法解决这个问题。我不相信这是正确的。即使输入
u
和
f
是互质，扩展的欧几里德算法也只能保证生成
v
，
w
，从而
vu+wf=r
，其中
r
是次多项式
0
——不一定是乘法单位。必须将
v
乘以
1/r
（视为
F
的一个元素），才能得到
u
的乘法逆。克里斯：GCD在乘以一个单位之前是唯一的，所以
GCD（u，f）
可以是
f\{0}
中的任何元素。必须考虑到这一点。
data NonPrimeField = NPF {
    prime     :: Integer
  , maxDegree :: Integer
  , element   :: Map Integer Integer
}

uv + fw = gcd(u, f)

uv = r (mod f)       <=>        uvr⁻¹ = 1 (mod f)