Math Coq-向上下文添加选择函数

假设我在一个Coq证明中，当前的上下文包括一个形式的假设

H : forall a : A, P a -> exists b : B, Q a b

在哪里

然后，我想在上下文中添加两个新术语：

f : A -> B
H' : forall a : A, P a -> Q a (f a)

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我该怎么做？我很高兴添加非结构化公理来实现这一点。

在这种普遍性中，这是不可能的。请看以下内容：

Definition A : Type := True.
Definition B : Type := False.
Definition P : A -> Prop := (fun a : A => False).
Definition Q : A -> B -> Prop := (fun (a : A) (b : B) => True).

Example H_is_trivial: forall a : A, P a -> exists b : B, Q a b.
Proof.
  intros a HP.
  destruct HP.
Qed.

Example f_cannot_exist: (exists f : A -> B, forall a : A, P a -> Q a (f a)) -> False.
Proof.
  intros.
  destruct H as [f H].
  apply f.
  exact I.
Qed.

所以存在A，B，p和Q的赋值，其中H保持不变，但可以证明f不存在

对于精化问题，您可以定义一个simga类型{a | pa}并使用选择公理进行证明：

Require Import ClassicalChoice.

Section Test.
Variable A B : Type.
Variable P : A -> Prop.
Variable Q : A -> B -> Prop.
Variable H : forall a : A, P a -> exists b : B, Q a b.

Definition AP := { a : A | P a }.
Definition QAP (a : AP) (b : B) := Q (proj1_sig a) b.

Lemma f_exists: exists f : AP -> B, (forall ap : AP, QAP ap (f ap)).
  apply choice.
  intros ap.
  specialize (H (proj1_sig ap) (proj2_sig ap)).
  destruct H as [b HQ].
  exists b. exact HQ.
Qed.

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再次分解sigma类型并直接回答您的问题应该不难，但sigma类型可能更方便。

这与我的不同，因为它特别涉及如何将这些术语添加到证据中的上下文。很好的理解。我假设我想要一个

f

，它将

（a:a，p:pa）

对

B

的元素进行配对？然后是假设

H'：对于所有（a:a）（p:pa），qa（fap）

。

Require Import ClassicalChoice.

Section Test.
Variable A B : Type.
Variable P : A -> Prop.
Variable Q : A -> B -> Prop.
Variable H : forall a : A, P a -> exists b : B, Q a b.

Definition AP := { a : A | P a }.
Definition QAP (a : AP) (b : B) := Q (proj1_sig a) b.

Lemma f_exists: exists f : AP -> B, (forall ap : AP, QAP ap (f ap)).
  apply choice.
  intros ap.
  specialize (H (proj1_sig ap) (proj2_sig ap)).
  destruct H as [b HQ].
  exists b. exact HQ.
Qed.