Math 将变换矩阵分解为正交矩阵和尺度矩阵

如果我有一个来自缩放、平移和旋转变换的矩阵。我想把这个矩阵分成两个矩阵。一种是旋转+平移矩阵，另一种是尺度矩阵

因为我想计算正确的法向量变换，所以我只需要正交矩阵来计算曲面法向量

有什么想法吗？

只是个想法-

• 将矩阵乘以单位向量

  （1/sqrt（3）、1/sqrt（3）、1/sqrt（3））

• 检查乘法后向量的长度
• 按该值的倒数缩放矩阵。现在有一个正交矩阵
• 使用找到的比例创建新的比例矩阵

如果我有一个来自缩放、平移和旋转变换的矩阵。我想把这个矩阵分成两个矩阵。一种是旋转+平移矩阵，另一种是尺度矩阵

我假设你所说的这个矩阵是一个4x4矩阵，被一些人广泛使用，被其他人普遍鄙视，第四行是0,0,0,1

我将使这两个操作“缩放”和“旋转+平移”。请注意：这些操作不是可交换的。缩放一个3矢量，然后旋转/平移该缩放矢量会产生一个与颠倒操作顺序不同的结果

案例1，操作是“旋转+平移”，然后是“缩放”。
设SR=S*R，其中S是具有正对角元素的3x3对角矩阵（缩放矩阵），R是3x3正交旋转矩阵。矩阵SR的行将相互正交，但列将不正交。比例因子是矩阵SR行的范数的平方根

算法： 给定4x4矩阵A，生成4x4缩放矩阵S，4x4旋转+平移矩阵T

A = [  SR(3x3)  Sx(3x1) ]
    [   0(1x3)     1    ]

如上所述，将A划分为3x3矩阵SR和3向量Sx

构造标度矩阵S。前三个对角元素是矩阵SR行的向量范数；最后一个对角线元素是1

通过将A的每一行除以相应的比例因子，构造4x4旋转+平移矩阵T

案例2，操作是“缩放”，然后是“旋转+平移”。
现在考虑RS= R*S的情况。这里A的列将彼此正交，但是行将不是正交的。在这种情况下，比例因子是矩阵RS列范数的平方根

算法： 给定4x4矩阵A，生成4x4旋转+平移矩阵T，4x4缩放矩阵S

A = [  RS(3x3)  x(3x1) ]
    [   0(1x3)    1    ]

如上所述，将A划分为3x3矩阵RS和3向量x

构造标度矩阵S。前三个对角元素是矩阵RS列的向量范数；最后一个对角线元素是1

通过将A的每一行除以相应的比例因子，构造4x4旋转+平移矩阵T

如果缩放不均匀（例如，缩放x×2、y×4、z×1/2），可以通过查看上部3x3矩阵的行和列的内积来判断操作顺序。最后缩放（我的案例1）意味着行内积将非常接近于零，但列内积将不为零。首先缩放（我的案例2）可以扭转这种情况。如果缩放是均匀的，就无法判断哪种情况是哪种情况。你需要事先知道

删除平移以获得3x3矩阵

通过SVD执行测试

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当你说要计算正确的法向量变换时，我很困惑。如果你的矩阵是缩放、平移和旋转，那么它是正交的。你的意思是正交矩阵吗？如果矩阵是，。向量将被转换为。向量方向不对。我没有时间给出正确的答案，但这种分解是QR分解（在维基百科上查找）。此外，法线应该根据变换矩阵的倒数的转置进行变换（尽管它不再是单位长度）。QR有点过分，如果操作是缩放，则只会产生所需的答案，然后旋转+平移。如果操作是旋转+平移，则需要进行RQ分解，然后进行缩放。我可以这样做：先进行乘法，然后再进行缩放。向量*矩阵*（1/（（1/sqrt（3），1/sqrt（3），1/sqrt（3））*矩阵）。剪切呢？如果同时包含剪力，是否也可以拆分剪力？