Math 两个平面的交线

我怎样才能找到两个平面之间的交线

我知道数学原理，我做了平面法向量的叉积

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但是如何通过编程从结果向量中获取直线呢？直线的叉积就是相交直线的方向。现在你需要一个交叉点

可以通过在叉积上取一点，然后减去平面a的法线*到平面a的距离和平面B的法线*到平面B的距离来实现。清洁剂：

p=叉积上的点

交点=（[p]-（[平面A的法线]*[从p到平面A的距离]）-（[平面B的法线]*[从p到平面B的距离]）

编辑：

您有两个具有两条法线的平面：

N1 and N2

叉积是相交线的方向：

C = N1 x N2

上面的类具有计算点与平面之间距离的函数。使用它可以获得C上某个点p到两个平面的距离：

p = C //p = 1 times C to get a point on C
d1 = plane1.getDistance(p)
d2 = plane2.getDistance(p)

交叉线：

resultPoint1 = (p - (d1 * N1) - (d2 * N2))
resultPoint2 = resultPoint1 + C

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平面的方程式为ax+by+cz+d=0，其中（a，b，c）是平面的法线，d是到原点的距离。这意味着满足该方程的每个点（x，y，z）都是平面的一个成员

给定两个平面：

P1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0
P2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0

(A3,B3,C3) = (A1,B1,C1) cross (A2,B2,C2)

两者之间的交点是验证两个方程的点集。要沿着这条线找到点，只需为x选择一个值，任意值，然后求解y和z的方程

y = (-c1z -a1x -d1) / b1
z = ((b2/b1)*(a1x+d1) -a2x -d2)/(c2 - c1*b2/b1)

如果将

x=0

，这会变得更简单：

y = (-c1z -d1) / b1
z = ((b2/b1)*d1 -d2)/(c2 - c1*b2/b1)

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只要两个平面不平行，这种方法就可以避免被零除

如果这些是飞机：

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0
A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0

1） 找到一个平行于相交线的向量。这也是垂直于其他两个平面的第三个平面的法线：

P1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0
P2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0

(A3,B3,C3) = (A1,B1,C1) cross (A2,B2,C2)

2） 形成一个由3个方程组成的系统。这些描述了在一点相交的3个平面：

A1*x1 + B1*y1 + C1*z1 + D1 = 0
A2*x1 + B2*y1 + C2*z1 + D2 = 0
A3*x1 + B3*y1 + C3*z1 = 0

3） 求解它们以找到x1，y1，z1。这是相交线上的一个点

4） 相交线的参数方程为：

x = x1 + A3 * t
y = y1 + B3 * t
z = z1 + C3 * t

在直线上找到一点 要获得两个平面的交点，需要在直线上有一个点以及该直线的方向

找到那条线的方向真的很容易，只要穿过两个相交平面的两条法线

lineDir = n1 × n2

但该线穿过原点，沿平面交点的线可能不会穿过原点。所以，答案为在相交线上找到一个点（基本上是两个平面上的任何点）提供了一个很好的开始

如果你想看看如何解决这个问题的推导，下面是它背后的数学：

首先让x=0。现在我们在2个方程中有2个未知数，而不是在2个方程中有3个未知数（我们任意选择其中一个未知数）

然后，平面方程为（由于我们选择了x=0，因此消除了A项）：

B1y+C1z+D1=0

B2y+C2z+D2=0

我们需要y和z，这样对于给定的B1，C1，这些方程都能正确求解（=0）

因此，只需将顶部等式乘以（-B2/B1）即可得到

-B2y+（-B2/B1）*C1z+（-B2/B1）*D1=0

B2y+C2z+D2=0

添加要获取的等式

z=（-B2/B1）*D1-D2）/（C2*B2/B1）*C1）

现在把你找到的z放到第一个方程中，得到y作为

y=（-D1-C1z）/B1

注意，最好的变量是系数最低的变量，因为它不携带任何信息。因此，如果C1和C2都是0，那么选择z=0（而不是x=0）将是一个更好的选择

如果B1=0，上述解决方案仍然会出错（这并非不可能）。您可以添加一些if语句来检查B1是否为0，如果是，请确保为其他变量之一求解

使用3个平面的交点求解 根据答案，3个平面相交的封闭形式解决方案实际上在Graphics Gems 1中。公式是：

交点=（（点1•n1）（n2×n3）+（点2•n2）（n3×n1）+（点3•n3）（n1×n2））/det（n1，n2，n3）

实际上，点1•n1=-d1（假设你写平面Ax+By+Cz+D=0，而不是=-D）。因此，您可以将其改写为：

p_交点=（-d1）（n2×n3）+（d2）（n3×n1）+（d3）（n1×n2））/det（n1，n2，n3）

与3个平面相交的函数：

// Intersection of 3 planes, Graphics Gems 1 pg 305
static Vector3f getIntersection( const Plane& plane1, const Plane& plane2, const Plane& plane3 )
{
  float det = Matrix3f::det( plane1.normal, plane2.normal, plane3.normal ) ;
    
  // If the determinant is 0, that means parallel planes, no intn.
  if( det == 0.f ) return 0 ; //could return inf or whatever
  
  return ( plane2.normal.cross( plane3.normal )*-plane1.d +
           plane3.normal.cross( plane1.normal )*-plane2.d + 
           plane1.normal.cross( plane2.normal )*-plane3.d ) / det ;            
}

证明它有效（这里的黄点是rgb平面的交点）

接电话 一旦有了两个平面共有的交点，直线就消失了

p+t*d

其中p是交点，t可以从（-inf，inf）开始，d是两个原始平面法线的叉积方向向量

红色和蓝色平面之间的相交线如下所示

效率和稳定性 根据我的统计，“健壮”（第二种方式）需要48次基本运算，而第一种方式（x，y的隔离）需要36次基本运算。这两种方法在稳定性和#计算之间存在权衡

如果B1为0，而您没有检查，那么从调用第1个方法返回（0，inf，inf）将是非常灾难性的。因此，添加

if

语句并确保不被0除到第1个方法中，可能会以代码膨胀和添加的分支（这可能非常昂贵）为代价提供稳定性。3平面相交法几乎没有分支，不会给出无穷大。

为了完整性，添加此答案，因为在撰写本文时，这里的答案都不包含直接解决此问题的工作代码示例

尽管这里还有其他答案

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可以使用三平面相交算法的简化版本计算两个平面之间的直线

答案中的第二个“更稳健的方法”引用了三平面交点

而这适用于2个平面（其中第3个平面