Math 多边形求交的一种简单算法

我正在寻找一个非常简单的算法来计算多边形相交/剪裁。 也就是说，给定多边形

P

，

Q

，我希望找到包含在

P

和

Q

中的多边形

T

，我希望

T

在所有可能的多边形中是最大的

我不介意运行时间（我有一些非常小的多边形），我还可以获得多边形交点的近似值（即，点较少的多边形，但仍包含在多边形交点中）

但对我来说，算法简单（测试成本较低），最好短（代码较少），这一点非常重要

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编辑：请注意，我希望获得表示交点的多边形。对于两个多边形是否相交的问题，我不需要一个布尔答案。

这可能是一个很大的近似值，取决于您的多边形，但这里有一个：

• 计算每个轴的质心 多边形
• 计算最小值、最大值或平均值 距离每一点的距离 多边形到质心
• 如果C1C2（其中C1/2是第一个/第二个多边形的中心）>=D1+D2（其中D1/2是您为第一个/第二个多边形计算的距离），则两个多边形“相交”

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不过，这应该是非常有效的，因为对多边形的任何变换都以非常相同的方式应用于质心，并且中心节点距离只能计算一次。

您可以使用多边形剪裁算法来查找两个多边形之间的交点。然而，当考虑到所有的边缘情况时，这些算法往往是复杂的

您可以使用喜爱的搜索引擎查找的多边形剪裁的一个实现是Weiler Atherton

Alan Murta拥有多边形裁剪器的完整实现

编辑：

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另一种方法是首先将每个多边形划分为一组三角形，这样更容易处理。Gary H.Meisters的双耳定理就做到了这一点。这很好地解释了三角形细分。

您没有给我们您的多边形表示。所以我选择了（更像是建议）一个给你：）

将每个多边形表示为一个大凸多边形，以及需要从该大凸多边形中“减去”的较小凸多边形列表

现在，给定该表示中的两个多边形，可以将交点计算为：

计算大型凸多边形的交点以形成交点的大型多边形。然后“减去”两者中所有较小多边形的交点，以得到一个细分多边形列表

您将获得一个遵循相同表示的新多边形

由于凸多边形相交很容易，因此该相交查找也应该很容易

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这似乎应该行得通，但我没有对正确性/时间/空间复杂性进行更深入的思考。

这里有一个简单而愚蠢的方法：输入时，将多边形离散化为位图。要相交，请将位图合并在一起。要生成输出多边形，请勾画出位图的锯齿状边界，并使用平滑工具平滑锯齿状边界。（我不记得这个链接是否给出了最合适的算法，这只是谷歌的第一次成功。你可以查看其中一个将位图图像转换为矢量表示的工具。也许你可以在不重新实现算法的情况下调用它们？）

我认为最复杂的部分是

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顺便说一句，在90年代初，我在工作中遇到了类似的问题。我把它弄糊涂了：我想出了一个（完全不同的）算法，可以处理实数坐标，但面对浮点（和噪声输入）的现实，似乎遇到了完全不可修复的过多退化情况。也许有了互联网的帮助，我会做得更好

> P>如果你使用C++，不想自己创建算法，你可以使用。它使用了上面提到的Weiler-Atherton算法的改编版本。

我知道原始海报在寻找一个简单的解决方案，但不幸的是，实际上没有简单的解决方案

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不过，我最近创建了一个开源的免费剪辑库（用Delphi、C++和C语言编写），它可以剪辑各种多边形（包括自交）。这个库使用起来非常简单：。

我没有非常简单的解决方案，但下面是实际算法的主要步骤：

对多边形顶点和顶点执行自定义双链接列表 边缘。使用

std:：list

不行，因为您必须交换下一个和 上一个指针/偏移量用于在 节点。这是获得简单代码的唯一方法，这将 表现不错

通过比较每对边找到交点。注 比较每一对边缘会给O（N²）时间，但会有所改善 之后，O（N·logN）的算法将变得简单。为了一双 边缘（比如a）→b和c→d） ，通过使用 边a上的参数（从0到1）→b、 这是由 Tₐ=D₀/（d）₀-D₁), d在哪里₀ is（c-a）×（b-a）和d₁ is（d-a）×b-a.×is 二维叉积，如p×q=pₓ·Qᵧ-Pᵧ·Qₓ. 找到t之后ₐ, 求交点是将其用作线性插值 a段上的参数→b:P=a+tₐ（b-a）

拆分每条边添加顶点（以及链接列表中的节点） 线段相交的位置

然后必须在交点处穿过节点。这是 需要对其执行自定义双链接的操作 您必须交换下一对指针（并更新 相应地，前面的指针）

然后就有了多边形相交解析算法的原始结果

function get_polygon_intersection($arr, $user_array)
{
    $maxx = -999;  // choose sensible limits for your application
    $maxy = -999;
    $minx = 999;
    $miny = 999;
    $intersection_count = 0;
    $not_intersected = 0;
    $sampling = 20;
    
    // find min, max values of polygon (min/max variables passed as reference)
    get_array_extent($arr, $maxx, $maxy, $minx, $miny);
    get_array_extent($user_array, $maxx, $maxy, $minx, $miny);
    
    $inc_x = $maxx-$minx/$sampling;
    $inc_y = $maxy-$miny/$sampling;
    
    // see if x,y is within poly1 and poly2 and count
    for($i=$minx; $i<=$maxx; $i+= $inc_x)
    {
        for($j=$miny; $j<=$maxy; $j+= $inc_y)
        {
            $in_arr = pt_in_poly_array($arr, $i, $j);
            $in_user_arr = pt_in_poly_array($user_array, $i, $j);
            
            if($in_arr && $in_user_arr)
            {
                $intersection_count++;
            }
            else
            {
                $not_intersected++;
            }
        }
    }
    
    // return score as percentage intersection
    return 100.0 * $intersection_count/($not_intersected+$intersection_count);
}