Math 什么是梯度方向和梯度大小？

我目前正在学习一个叫边缘检测的计算机视觉模块。

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我试图理解梯度方向和梯度大小的含义。

两个变量x，y的函数的梯度是x和y方向上偏导数的向量。如果你的函数是f（x，y），梯度就是向量（f_x，f_y）。图像是（x，y）的离散函数，因此也可以讨论图像的梯度

图像的梯度有两个分量：x导数和y导数。因此，可以将其视为在每个像素处定义的向量（f_x，f_y）。这些向量具有方向atan（f_y/fx）和幅值sqrt（f_x^2+f_y^2）。因此，您可以将图像的梯度表示为x导数图像和y导数图像，也可以表示为方向图像和幅度图像。

正如在his中所解释的，您应该熟悉的数学概念，以便更好地理解图像处理领域中的梯度

我的回答是基于对这一点的理解

在这里，您可以看到黑色背景上的白色磁盘的简单初始图像：

您可以计算此图像梯度的近似值。正如迪马在他的回答中解释的，梯度有两个分量，一个水平分量和一个垂直分量

下图显示了水平构件：

它显示了图像中的灰度在水平方向上的变化程度（正x方向，从左到右扫描图像），这种变化在水平分量图像的灰度中被“编码”：平均灰度表示没有变化，亮度表示从暗值变为亮值，暗级别表示从亮值更改为暗值。因此，在上面的图像中，您可以在圆的左半部看到更亮的值，因为在初始图像的左半部，您有一个从黑到白的过渡，它给出了磁盘的左边缘；类似地，在上面的图像中，您可以在圆的右侧看到较暗的值，因为在初始图像的右侧，您有从白色到黑色的过渡，从而获得磁盘的右边缘。在上图中，磁盘内部和背景处于平均灰度，因为磁盘内部和背景没有变化

我们可以对垂直分量进行类似观察，它显示图像在垂直方向上的变化，即从上到下扫描图像：

现在可以组合这两个组件以获得渐变的大小和渐变的方向

下图是渐变的大小：

同样，在上面的图像中，初始图像中的变化是以灰度编码的：在这里，您可以看到白色表示初始图像中的高变化，而黑色表示根本没有变化。 因此，当你看梯度大小的图像时，你可以说“如果图像是明亮的，它意味着初始图像有很大的变化；如果图像是暗的，它意味着没有变化或变化很小”

下图是渐变的方向：

在上面的图像中，方向再次被编码为灰度：你可以认为方向是一个箭头的角度，从图像的黑暗部分指向图像的明亮部分；该角度指的是xy帧，其中x从左到右运行，而y从上到下运行。在上图中，您可以看到从黑色（零度）到白色（360度）的所有灰度。我们可以用颜色对信息进行编码：

在上图中，信息以这种方式编码：

红色：角度在0到90度之间

青色：角度在90到180度之间

绿色：角度介于180度和270度之间

黄色：角度介于270度和360度之间

这里是C++ opencv代码，用于生成上述图像。 请注意，对于方向的计算，我使用函数，如中所述，当梯度的垂直分量和水平分量均为零时，该函数给出的角度为0；这可能是方便的，但是从数学角度来看显然是错误的，因为当两个分量都为零时，方向没有被定义，并且在浮点C++类型中保持的方向的唯一有意义的值是<代码>楠< /代码>。< /强>

这显然是错误的，因为例如，0度方向已经与水平边相关，它不能用于表示没有边的区域以及方向没有意义的区域等其他对象

// original code by https://stackoverflow.com/users/951860/mevatron
// see https://stackoverflow.com/a/11157426/15485
// https://stackoverflow.com/users/15485/uvts-cvs added the code for saving x and y gradient component 

#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include <opencv2/imgproc/imgproc.hpp>

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace cv;
using namespace std;

Mat mat2gray(const cv::Mat& src)
{
    Mat dst;
    normalize(src, dst, 0.0, 255.0, cv::NORM_MINMAX, CV_8U);

    return dst;
}

Mat orientationMap(const cv::Mat& mag, const cv::Mat& ori, double thresh = 1.0)
{
    Mat oriMap = Mat::zeros(ori.size(), CV_8UC3);
    Vec3b red(0, 0, 255);
    Vec3b cyan(255, 255, 0);
    Vec3b green(0, 255, 0);
    Vec3b yellow(0, 255, 255);
    for(int i = 0; i < mag.rows*mag.cols; i++)
    {
        float* magPixel = reinterpret_cast<float*>(mag.data + i*sizeof(float));
        if(*magPixel > thresh)
        {
            float* oriPixel = reinterpret_cast<float*>(ori.data + i*sizeof(float));
            Vec3b* mapPixel = reinterpret_cast<Vec3b*>(oriMap.data + i*3*sizeof(char));
            if(*oriPixel < 90.0)
                *mapPixel = red;
            else if(*oriPixel >= 90.0 && *oriPixel < 180.0)
                *mapPixel = cyan;
            else if(*oriPixel >= 180.0 && *oriPixel < 270.0)
                *mapPixel = green;
            else if(*oriPixel >= 270.0 && *oriPixel < 360.0)
                *mapPixel = yellow;
        }
    }

    return oriMap;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    Mat image = Mat::zeros(Size(320, 240), CV_8UC1);
    circle(image, Point(160, 120), 80, Scalar(255, 255, 255), -1, CV_AA);

    imshow("original", image);

    Mat Sx;
    Sobel(image, Sx, CV_32F, 1, 0, 3);

    Mat Sy;
    Sobel(image, Sy, CV_32F, 0, 1, 3);

    Mat mag, ori;
    magnitude(Sx, Sy, mag);
    phase(Sx, Sy, ori, true);

    Mat oriMap = orientationMap(mag, ori, 1.0);

    imshow("x", mat2gray(Sx));
    imshow("y", mat2gray(Sy));

    imwrite("hor.png",mat2gray(Sx));
    imwrite("ver.png",mat2gray(Sy));

    imshow("magnitude", mat2gray(mag));
    imshow("orientation", mat2gray(ori));
    imshow("orientation map", oriMap);
    waitKey();

    return 0;
}

//原始代码由https://stackoverflow.com/users/951860/mevatron
//看https://stackoverflow.com/a/11157426/15485
// https://stackoverflow.com/users/15485/uvts-cvs 添加了保存x和y渐变分量的代码
#包括
#包括
#包括
#包括
#包括
使用名称空间cv；
使用名称空间std；
Mat mat2gray（常数cv:：Mat和src）
{
Mat-dst；
标准化（src、dst、0.0、255.0、cv:：NORM_MINMAX、cv_8U）；
返回dst；
}
Mat方向图（常数cv:：Mat和mag，常数cv:：Mat和ori，双阈值=1.0）
{
Mat oriMap=Mat:：zeros（ori.size（），CV_8UC3）；
向量3b红色（0,0255）；
Vec3b青色（255,255,0）；
Vec3b绿色（0，255，0）；
Vec3b黄色（0、255、255）；
对于（int i=0；i阈值）
{
float*oriPixel=reinterpret_cast（ori.data+i*sizeof（float））；
Vec3b*mapPixel=reinterpret_cast（oriMap.data+i*3*sizeof（char））；
如果（*像素<90.0）
*mapPixel=红色；