Math 定点数学中的溢出

作为部分学习练习，部分爱好项目，我正在使用定点数学在AVR上实现我自己对Cooley Tukey FFT算法的解释。我以前没怎么处理过定点数学，我想知道如何最好地进行部分实现。我想这个问题的要点是要求确认我正确地思考了所涉及的问题

C-T算法的核心是以以下方式（在psedoocode中）对复值数据进行一组乘法和加法：

余弦和正弦数据将是形式为S.XXX'XXXX的8位有符号二进制分数，输入数据也将是形式为SXXX.XXXX的8位有符号二进制分数，乘法将生成16位有符号分数乘积。在我看来，对于正弦和余弦以及数据的实部和虚部的“坏”值，temp1或temp2将非常接近16位有符号整数的极限。
如果数据的实部和虚部都是（比如）b0111.1111，Wolfram Alpha中的一些工作表明，对于正弦和余弦的“坏”值，输出可能比简单地将正弦的最大值乘以输入的最大值要大1.4倍

例如，如果正弦参数为b0111.1111，输入值为b0111.111，则输出将为b0111111.00000001或十进制的16129。1.4倍，约为22580。这不会使有符号16位整数的正范围溢出，但在接下来的几行中，这些乘积将从输入数据中进行加减，并且假设此处的输入数据转换为16位，则很可能会发生溢出

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在我看来，权衡是：要么提高数据的内部处理分辨率，这会增加处理时间，要么确保输入数据保持低于导致溢出的振幅，从而降低信噪比。这与事物的大小有关吗？

一个选择是将正弦和余弦值减少到Q6（小数点右边的6位），这将使它们变成+/-64。请注意，如果精度再高一点，-1是可表示的，但+1不是（即+128）。此外，相乘后，结果中将有2个符号位，这意味着2个乘积的总和可能可以毫无问题地相加。通过降低分辨率得到的额外信息，您应该能够真正避免溢出。另一点-如果你的复数值被限制在1的量级（real*real+img*img我知道这是很久以前的事了，但这里有一些我写的库中关于定点数学的注释

使用定点数学的概述 在量化或DSP类型数学区域的实现中出现的关键思想包括如何表示分数单位，以及当数学运算导致整数寄存器溢出时该怎么做

浮点（C、C++中的浮点或双精度类型）最常用于表示分数单位，但它们并不总是可用（不支持硬件或在低端微控制器上不支持库软件）。如果硬件支持不可用，则可以通过软件库提供浮点，但这些库通常比硬件实现慢至少一个数量级。如果程序员聪明，则可以使用整数数学代替软件浮点，从而产生更快的代码。在这些情况下，分馏如果使用比例因子，l单位可以用整数寄存器（短、int、长）表示

缩放和环绕 创建数字的缩放整数表示时出现的两个常见问题是

缩放-程序员必须手动跟踪分数缩放因子，而使用浮点数时，编译器和浮点库会为程序员执行此操作

溢出和环绕-如果添加两个大数字，结果可能大于整数表示形式，从而导致环绕或溢出错误。更糟糕的是，根据编译器警告设置或操作类型，这些错误可能不会被注意到。例如，两个8位数字（通常是C/C++中的字符）

字符a=34，b=3，c

//并计算

c=a*b

//将它们相乘，结果是102，这仍然适合8位的结果 //如果b=5会发生什么

c=a*b；//实际答案是170，但结果是-86

这种类型的错误称为溢出或环绕错误，可以用几种方法处理。我们可以使用较大的整数类型，如shorts或int，或者我们可以事先测试这些数字，看看结果是否会产生溢出。哪一种更好？这取决于具体情况。如果我们已经使用最大的自然类型（例如32位CPU上的32位整数）然后，我们可能必须在执行操作之前测试该值，即使这会导致一些运行时性能损失

精度损失 真正的浮点表示法可以在一系列操作中保持相对任意的精度，但是在使用定点（缩放）时数学-缩放过程意味着我们最终将可用比特的一部分用于所需的精度。这意味着小于缩放因子的数学信息将丢失，从而导致量化错误

一个简单的简单缩放示例让我们尝试用一个整数表示数字10.25，我们可以做一些简单的事情，比如将值乘以100，然后将结果存储在一个整数变量中。因此我们有：

10.25*100==>1025

如果我们想再加一个数字，比如说0.55，我们会取1.55，再放大100倍

0.55*100=>155

现在把它们加在一起，我们加上整数

1025+55==>1070

但让我们通过一些代码来了解这一点：

void main (void)
{
    int myIntegerizedNumber  = 1025;
    int myIntegerizedNumber2 =  155;
    int myIntegerizedNumber3;

    myIntegerizedNumber3 = myIntegerizedNumber1 + myIntegerizedNumber2;

    printf("%d + %d = %d\n",myIntegerizedNumber1,myIntegerizedNumber2,myIntegerizedNumber3);
}

但现在是几杯酒中的第一杯

void main (void)
{
    int myIntegerizedNumber  = 1025;
    int myIntegerizedNumber2 =  155;
    int myIntegerizedNumber3;

    myIntegerizedNumber3 = myIntegerizedNumber1 + myIntegerizedNumber2;

    printf("%d + %d = %d\n",myIntegerizedNumber1,myIntegerizedNumber2,myIntegerizedNumber3);
}