Math 从二维点计算单位球体上的三维坐标

我有一个圆形的正方形位图，我想计算该圆形中所有像素的法线，就像它是半径为1的球体一样：

球体/圆在位图中居中

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这个方程是什么？

很明显，由于缺少维度，你只能假设所有的点都在球体的一半或类似的地方。除此之外，这很简单

圆的中间有一个精确向内或向外的法线，垂直于绘制圆的平面

圆边上的每个点都背向中间，因此可以计算该点的法线

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对于中间和边缘之间的任何一点，你都可以使用到中间的距离，以及一些简单的三角（我现在不知道）。lerp在某些点上大致准确，但并不完全符合您的需要，因为它是一条曲线。虽然是简单的曲线，但你知道起始值和结束值，所以计算它们只需要一个简单的等式。

我想我得到了你想要做的：为图像生成深度数据网格。有点像光线跟踪球体

在这种情况下，需要进行光线-球体相交测试：

基于U/V坐标（乘以2，因为球体的直径为2），光线将是简单的垂直光线。这将为您提供球体上的前向点

从这里开始，按如下方式计算法线（

点-原点

，半径已经是1个单位）

从上面的链接中删除：

您必须组合两个方程式：

• 射线：R（t）=R0+t*Rd，t>0，其中R0=[X0，Y0，Z0]和Rd=[Xd，Yd，Zd]
• Sphere:S=点集[xs，ys，zs]，其中（xs-xc）2+（ys-yc）2+（zs-zc）2=Sr2

为此，请计算光线（x*像素/宽度，y*像素/宽度，z:1），然后：

• A=Xd^2+Yd^2+Zd^2
• B=2*（Xd*（X0-Xc）+Yd*（Y0-Yc）+Zd*（Z0-Zc））
• C=（X0-Xc）^2+（Y0-Yc）^2+（Z0-Zc）^2-Sr^2

插入二次方程：

• t0，t1=（-B+（B^2-4*C）^1/2）/2

检查判别式（B^2-4*C），如果为实根，则交点为：

• Ri=[xi，yi，zi]=[x0+xd*ti，y0+yd*ti，z0+zd*ti]

曲面法线为：

• SN=[（xi-xc）/Sr，（yi-yc）/Sr，（zi-zc）/Sr]

将其全部煮沸：

因此，由于我们讨论的是单位值，以及直接指向

Z

（没有x或y分量）的光线，我们可以将这些方程大大简化：

雷：

• X0=2*像素x/宽度
  Y0=2*像素/高度
  Z0=0

• Xd=0
  Yd=0
  Zd=1

球体：

• Xc=1
  Yc=1
  Zc=1

因素：

• A=1（单位射线）
• B
  =2*（0+0+（0-1））
  =-2（无x/y分量）
• C
  =（X0-1）^2+（Y0-1）^2+（0-1）^2-1
  =（X0-1）^2+（Y0-1）^2

• 判别式
  =（-2）^2-4*1*C
  =4-4*C

从这里开始：

If discriminant < 0:
  Z = ?, Normal = ?
Else:
  t = (2 + (discriminant) ^ 1 / 2) / 2
If t < 0 (hopefully never or always the case)
  t = -t

如果判别式<0：
Z=？，正常=？
其他：
t=（2+（判别式）^1/2）/2
如果t<0（希望从未或始终如此）
t=-t

然后：

• Z:t
席：1—BR> 纽约：易-1
新西兰：t-1

煮得更远：

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直观地看，它看起来像C（

X^2+Y^2

），平方根是这里最突出的数字。如果我对我的数学有更好的记忆（特别是对和的指数的变换），那么我敢打赌我可以把它归结为Tom Zych给你的。既然我不能，我就把它放在上面。

我不太了解人们是如何编程3D东西的，所以我只讲纯粹的数学，希望它有用

以原点为中心的半径为1的球体是满足以下条件的点集：

x2+y2+z2=1

我们需要球体上x和y已知的点的三维坐标。所以，只需求解z：

z=±sqrt（1-x2-y2）

现在，让我们考虑从球面向外指向的单位向量。它是一个单位球体，所以我们可以使用从原点到（x，y，z）的向量，当然是

现在我们想要一个平面在（x，y，z）处与球体相切的方程，但这将使用它自己的x，y和z变量，因此我将使它在（x0，y0，z0）处与球体相切。这很简单：

x0x+y0y+z0z=1

希望这有帮助

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（OP）：

你的意思是：

const int R = 31, SZ = power_of_two(R*2);
std::vector<vec4_t> p;
for(int y=0; y<SZ; y++) {
    for(int x=0; x<SZ; x++) {
        const float rx = (float)(x-R)/R, ry = (float)(y-R)/R;
        if(rx*rx+ry*ry > 1) { // outside sphere
            p.push_back(vec4_t(0,0,0,0));
        } else {
            vec3_t normal(rx,sqrt(1.-rx*rx-ry*ry),ry);
            p.push_back(vec4_t(normal,1));
        }
    }
}

const int R=31，SZ=two的幂（R*2）；
std：：向量p；
对于（int y=0；y此公式通常用于“假环境映射”效果

double x=2.0*像素x/位图大小-1.0；
双y=2.0*像素y/位图大小-1.0；
双r2=x*x+y*y；
if（r2<1）
{
//圈内
双z=sqrt（1-r2）；
…这里的法线是（x，y，z）。。。
}
他们不倾向于从图片中生成几何图形。你要找的是一种算法。当然，除非你已经找到了你认为图片中的中心点的方法。在这种情况下，请重新表述这个问题。这不是高中作业吗？不，这是大脑的一个。-一个周末的问题，我有所有的信息，可能还有我高中时代的所有数学知识，但我已经盯着这个问题看了几个小时，却没能写出一行代码。目的：在我的爱好游戏中为一些球形广告牌制作法线和深度图……你想要一个以o为中心的球体的解决方案吗还是在任意点（x，y，z）上？首先要简单得多。@Tom Zych:球体以位图的中心为中心。如果你想在2D中将该中心称为0,0（目前我无法理解），我可以处理平移
double x = 2.0 * pixel_x / bitmap_size - 1.0;
double y = 2.0 * pixel_y / bitmap_size - 1.0;
double r2 = x*x + y*y;
if (r2 < 1)
{
    // Inside the circle
    double z = sqrt(1 - r2);
    .. here the normal is (x, y, z) ...
}