Math 计算与3D中第三个向量垂直的两个向量

计算两个垂直于第三个向量（X）且彼此垂直的向量的最佳（最快）方法是什么

这就是我现在计算向量的方法：

// HELPER - unit vector that is NOT parallel to X
x_axis = normalize(X);
y_axis = crossProduct(x_axis, HELPER);
z_axis = crossProduct(x_axis, y_axis);

我知道有无限多的解决方案，我不在乎哪一个是我的解决方案

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这个问题的背后是什么：我需要构造变换矩阵，我知道X轴（矩阵中的第一列）应该指向哪个方向。我需要计算Y轴和Z轴（第二列和第三列）。正如我们所知，所有轴必须相互垂直。

这是一种方法。
这可能也是唯一的方法。任何其他方法在数学上都是等价的。
通过打开叉积计算，并确保您不会多次执行相同的乘法，可能可以节省一些周期，但这真的离微观优化领域很远

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当然，有一件事需要注意，那就是辅助向量。它不仅必须与X不平行，而且最好与X不平行。如果X和HELPER甚至有些平行，则浮点计算将不稳定且不准确。如果X和HELPER的点积类似于0.9999，您可以测试并查看会发生什么。

有一种方法可以找到一个好的HELPER（实际上，它已经准备好成为您的y_轴）

让我们X=（ax，ay，az）。选择两个较大的元素，交换它们，并对其中一个元素求反。将第三个元素设置为零（最小幅值）。这个向量垂直于X

例如：

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如果（ax我所做的，前提是

X0

或

Y0

是

A=[-Y，X，0]

B=[-X*Z，-Y*Z，X*X+Y*Y]

然后对向量进行归一化

[ X,Y,Z]·[-Y,X,0] = -X*Y+Y*X = 0
[ X,Y,Z]·[-X*Z,-Y*Z,X*X+Y*Y] = -X*X*Z-Y*Y*Z+Z*(X*X+Y*Y) = 0
[-Y,X,0]·[-X*Z,-Y*Z,X*X+Y*Y] = Y*X*Z+X*Y*Z = 0

这称为向量的零空间

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如果

X=0

和

Y=0

，则

A=[1,0,0]

，

B=[0,1,0]

，对于好的辅助向量：找到绝对值最小的X坐标，并使用该坐标轴：

absX = abs(X.x); absY = abs(X.y); absZ = abs(X.z);
if(absX < absY) {
  if(absZ < absX)
    HELPER = vector(0,0,1);
  else // absX <= absZ
    HELPER = vector(1,0,0);
} else { // absY <= absX
  if(absZ < absY)
    HELPER = vector(0,0,1);
  else // absY <= absZ
    HELPER = vector(0,1,0);
}

absX=abs（X.X）；absY=abs（X.y）；absZ=abs（X.z）；
if（absXelse//absX我认为单位向量中所有元素的最小-最大磁度始终大于0.577，因此您可以忽略以下情况：

->通过查找磁度大于0.5的任何元素，减少查找与3D向量垂直的向量到2D向量的问题，然后忽略不同的元素（使用0代替它），并在其余元素中应用与2D向量垂直的公式（对于2D x轴=（ax，ay）->y轴=（-ay，ax））

谢谢你的回答。是的，HELPER远不能与X并行。我正在为android平台开发，我希望会有一些技巧来计算至少第一个并行向量，而且要便宜一些。我会给这个问题一些时间，如果没有更好的答案，我会接受这个答案。不，这不是唯一的问题这也不一定是最好的方法，这取决于HELPER的值。另外还引入了另一种数学上精确但数值上不稳定的计算。请解释“不稳定”。能否提供一个（非零）例如，它失败了吗？例如，如果X和Y的大小不同，则对它们进行平方运算将产生代数上正确但数值上不正确的结果。当Y与X相比足够大时，XX+YY将减小为Y*Y。输入向量根据OP进行归一化，因此最坏的情况是
[1，ε，0]
其中ε是机器精度。结果将是
[-ε，1,0]
和
[0,0,1]
，这仍然是零空间。我真的完全看不到你的观点（在本例中）。你可能会认为
[ε，ε，1]
case失败了，但在最后一步中对结果进行规范化后，结果就正确了。不要伪造现代计算机内部使用80位浮点进行计算，但最终只显示32或64位。有哪种算法符合您的需要吗？它们涉及以稳健高效的方式生成y_轴。这几乎是一个相同的问题stion as:[对于一个正交向量，只需交叉乘积即可生成第二个向量。
let x-axis be represented by (ax,ay,az)

if (abs(ay) > 0.5) {
  y-axis = normalize((-ay,ax,0))
} else if (abs(az) > 0.5) {
  y-axis = normalize((0,-az,ay))
} else if (abs(ax) > 0.5) {
  y-axis = normalize((az,0,-ax))
} else {
  error("Impossible unit vector")
}