Math 面试问题：f（f（x））==1/x

设计函数f，以便：

f（f（x））==1/x

其中x是32位浮点

或者呢

给定一个函数f，求一个函数g 以致

f（x）=g（g（x））

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另见

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好吧，这里是C快速破解：

extern double f(double x);
double g(double x)
{
  static int parity = 0;
  parity ^= 1;
  return (parity ? x : f(x));
}

但是，如果您执行以下操作，则会出现故障：

a = g(4.0); // => a = 4.0, parity = 1
b = g(2.0); // => b = f(2.0), parity = 0
c = g(a);   // => c = 4.0, parity = 1
d = g(b);   // => d = f(f(2.0)), parity = 0

一般来说，如果f是双射f:D→ D、 您需要的是一个函数σ，它将域D划分为a和B，以便：

D=A∪ B、 （分区为总分区）

∅ = A.∩ B（分区是不相交的）

σ（a）∈ B、 f（a）∈ A.∀ A.∈ A,

σ（b）∈ A、 f（b）∈ B∀ B∈ B,

σ有一个逆σ-1 s.t.σ（σ-1（d））=σ-1（σ（d））=d∀ D∈ D

σ（f（d））=f（σ（d））∀ D∈ D

然后，您可以这样定义g：

• g（a）=σ（f（a））∀ A.∈ A
• g（b）=σ-1（b）∀ B∈ B

这是b/c模式

• ∀ A.∈ A、 g（g（A））=g（σ（f（A）），乘以（3），f（A）∈ A soσ（f（A））∈ 所以g（σ（f（a））=σ-1（σ（f（a）））=f（a）
• ∀ B∈ B、 g（g（B））=g（σ-1（B）），乘以（4），σ-1（B）∈ 因此g（σ-1（b））=σ（f）（σ-1（b））=f（σ（σ-1（b）））=f（b）

你可以从Miles的回答中看到，如果我们忽略0，那么运算σ（x）=-x对f（x）=1/x有效。你可以检查1-6（对于D=非零实数），其中A为正数，B为负数。使用双精度标准，有A

+0

、A

-0

、A

+inf

、A

-inf

，这些可用于计算域总数（适用于所有双精度数字，而不仅仅是非零）

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同样的方法也可以应用于f（x）=-1问题——这里接受的解决方案使用σ（x）=（x-1）将空间按余数mod 2进行划分，专门处理零情况。

我喜欢前面线程中的javascript/lambda建议：

function f(x)
{
   if (typeof x == "function")
       return x();
   else
       return function () {return 1/x;}
}

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同样，它被指定为一个32位的数字。让返回有更多的位，用它们在两次调用之间携带你的状态信息

Const
    Flag = $100000000;

Function F(X : 32bit) : 64bit;

Begin
    If (64BitInt(X) And Flag) > 0 then
        Result := g(32bit(X))
    Else
        Result := 32BitInt(X) Or Flag;
End;

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对于任何函数g和任何32位数据类型32位。

对于第一部分：这个比f（f（x））=-x更简单，IMO:

float f(float x)
{
    return x >= 0 ? -1.0/x : -x;
}

第二部分是一个有趣的问题，也是对这个问题的一个明显概括。有两种基本方法：

• 一种数值方法，如x≠ f（x）≠ f（f（x）），我认为这更符合原始问题的精神，但我认为在一般情况下是不可能的
• 一种涉及g（g（x））只调用f一次的方法

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其他解决方案暗示需要额外的状态。以下是一个更为数学化的理由：

设f（x）=1/（x^i）=x^-i

（式中，^表示指数，i是假想常数sqrt（-1））

f（f（x））=（x^-i^-i）=x^（-i*-i）=x^（-1）=1/x

因此，对于复数存在一个解决方案。我不知道是否有严格遵循实数的通用解决方案。
基于，一个通用版本的解决方案（作为Perl单行程序）：
应该始终翻转变量的符号（也称为state）两次，并且应该始终只调用

f（）

一次。对于那些不适合Perl隐式返回的语言，只需在

{

之前弹出一个

return

，就可以了
只要

f（）

不改变变量的符号，此解决方案就可以工作。在这种情况下，它会返回原始结果（对于负数）或

f（f（））

（对于正数）的结果。另一种方法可以像上一个问题的答案一样将变量的状态存储为偶数/奇数，但如果

f，则会中断（）

更改（或可以更改）变量的值。如前所述，更好的答案是lambda解决方案。下面是一个类似但不同的Perl解决方案（使用引用，但概念相同）：
注意：这是经过测试的，不起作用。它总是返回对标量的引用（并且总是同一个引用）。我尝试了一些方法，但这段代码显示了总体思路，尽管我的实现是错误的，方法甚至可能有缺陷，但这是朝着正确方向迈出的一步。通过一些技巧，您甚至可以使用字符串：

use String::Util qw(looks_like_number);

sub g {
  return "s" . f($_[0]) if looks_like_number $_[0];
  return substr $_[0], 1;
}

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还有另一种方法可以解决这个问题，它使用分数线性变换的概念。这些函数发送x->（ax+b）/（cx+d），其中a，b，c，d是实数
例如，您可以使用一些代数证明，如果f由f（x）=（ax+1）（-x+d）定义，其中a^2=d^2=1和a+d0，那么对于所有实x，f（f（x））=1/x。选择a=1，d=1，这在C++中给出了问题的解决方案：

float f(float x)
{
    return (x+1)/(-x+1);
}

证明是f（f（x））=f（（x+1）/（-x+1））=（（x+1）/（-x+1）+1）/（（x+1）/（-x+1）+1） =（2/（1-x））/（2x/（1-x））=取消时的1/x（1-x）

这对于x＝1或x＝0不成立，除非我们允许定义一个“无限”的值满足1 /INF＝0, 1／0＝INF.< /P> < P>一个<代码> G（g（x））＝f（x）< /> >：< /p>的C++解决方案。 这是一个稍微短一点的版本（我更喜欢这个：-）

如果

f（x）=g（g（x））

，那么

g

被称为

f

。我认为，即使你允许x是复杂的（你可能想去mathoverflow讨论：），通常也没有封闭形式。
试试这个

MessageBox.Show( "x = " + x );
MessageBox.Show( "value of x + x is " + ( x + x ) );
MessageBox.Show( "x =" );
MessageBox.Show( ( x + y ) + " = " + ( y + x ) );

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我感觉到大量的问题即将到来……是面试周？还是有人在审查面试问题？“灵感”？这就像是同一个问题！他不是得到面试问题的人。他在这里复制面试问题：面试官的问题：“这到底是如何证明你作为一名专业开发人员的技能的呢？”事实上，这很狡猾（以单线程的方式：-）。是的，但如果我做x=g（3.0），y=g（4.0），z=g（x），a=g（y），它仍然会下降=>z=3.0，a=4.0。我需要一个更好的多值数据结构。我从没想过我第一次看到一阶逻辑会出现在社区网站上

float f(float x)
{
    return (x+1)/(-x+1);
}

struct X{
    double val;
};

X g(double x){
    X ret = {x};
    return ret;
}

double g(X x){
    return f(x.val);
}

struct X{
    X(double){}
    bool operator==(double) const{
        return true
    }
};

X g(X x){
    return X();
}

MessageBox.Show( "x = " + x );
MessageBox.Show( "value of x + x is " + ( x + x ) );
MessageBox.Show( "x =" );
MessageBox.Show( ( x + y ) + " = " + ( y + x ) );