Math 余数序列

我想计算GCD使用的两个多项式的余数序列。如果我理解维基百科的文章，计算它的一种方法是使用欧几里得算法：

gcd(a, b) := if b = 0 then a else gcd(b, rem(a, b))

这意味着我将收集

rem（）

零件。然而，如果系数是整数，中间分数增长非常快，因此存在所谓的“伪余数序列”，它试图将系数保持在小整数中

我的问题是，如果我理解正确（我理解了吗？），上面两个序列只在常数因子上不同，但是当我尝试运行下面的示例时，我得到了不同的结果，为什么？第一个余数序列不同于

-2

，好吧，但是为什么第二个序列如此不同呢？我假设

subresultants（）

工作正常，但是为什么

g%（f%g）

不工作呢

f = Poly(x**2*y + x**2 - 5*x*y + 2*x + 1, x, y)
g = Poly(2*x**2 - 12*x + 1, x)
print
print subresultants(f, g)[2]
print subresultants(f, g)[3]
print
print f % g
print g % (f % g)

导致

Poly(-2*x*y - 16*x + y - 1, x, y, domain='ZZ')
Poly(-9*y**2 - 54*y + 225, x, y, domain='ZZ')

Poly(x*y + 8*x - 1/2*y + 1/2, x, y, domain='QQ')
Poly(2*x**2 - 12*x + 1, x, y, domain='QQ')

上述两个序列仅因常数因子不同

对于一个变量的多项式，它们是。对于多元多项式，它们不是

多变量多项式的划分是：结果取决于所选的单项式顺序（默认情况下，Symphy使用字典顺序）。当你要求它将

2*x**2-12*x+1

除以

x*y+8*x-1/2*y+1/2

时，它发现分母的前导单项式是

x*y

，分子中没有单项式可以被

x*y

整除。商是零，所有的都是余数

子结果的计算（在sympy中实现）将x，y中的多项式视为x中的单变量多项式，其系数恰好来自y中的多项式环。肯定会产生一个子结果序列，其相对于x的次数不断减少，直到它达到0：序列的最后一个多项式中不会有x。相对于y的阶数可能（并且确实）会上升，因为算法将这些项乘以y中的任何多项式，以使x退出

结果是，两种计算都能正确工作，它们只是做了不同的事情