Math 是否有一个函数f（n）可以返回有序组合列表中的第n个组合而不重复？

当要从（n）中选择的元素数为5，选择的元素数（r）为3时，没有重复的组合如下所示：

随着n和r的增长，组合的数量迅速增加。对于（n，r）=（200,4），组合的数量为64684950

使用r嵌套for循环迭代列表很容易，其中每个for循环的初始迭代值都大于其嵌套的for循环的当前迭代值，如下面的jsfiddle示例所示：

我想要的是一个函数，它根据索引只计算一个组合。大概是这样的：

tuple combination(i,n,r) {
  return [combination with index i, when the number of elements to choose from is n and elements chosen is r]

---

有人知道这是否可行吗？

您首先需要对给定的

n

和

r

可用的所有组合集合进行某种排序，这样线性索引才有意义。我建议我们同意保持组合的递增顺序（或者，至少是单个元素的索引），如您的示例所示。那么，我们如何才能从线性指数转变为组合指数呢

让我们首先对这个问题建立一些直觉。假设我们有

n=5

（例如，集合

{0,1,2,3,4}

）和

r=3

。在这种情况下有多少独特的组合？答案当然是

5-choose-3

，其计算结果为

10

。由于我们将按顺序增加组合，考虑一下，一旦我们用完了<代码> 0 所有的组合，剩下多少组合。这必须是

4-choose-3

，或总共

4

。在这种情况下，如果我们开始寻找索引

7

处的组合，这意味着我们必须减去

10-4=6

，然后在集合

{1,2,3,4}

中搜索索引

1

处的组合。这个过程将继续，直到我们找到一个小于此偏移量的新索引

一旦这个过程结束，我们知道第一个数字。然后我们只需要确定剩余的

r-1

位数！因此，算法的形式如下（在Python中，但这应该不太难翻译）

从数学导入阶乘
def选择（n，k）：
返回阶乘（n）/（阶乘（k）*阶乘（n-k））
在idx处的def组合（idx、元素、r）：
如果len（elems）=r：
#我们正在寻找大小为r的列表中的r元素-因此，我们需要
#每个元素。
返回元素
如果len（elems）=0或len（elems）=偏移量：#组合不以第一个元素开始
返回组合_在_idx处（idx-偏移量，元素[1:]，r）
#我们现在知道组合的第一个元素，但还不知道下一个元素
#r-1元素。这些也需要递归计算。
返回[elems[0]]+组合元素（idx，elems[1:]，r-1）

用您的初始输入进行驾驶测试

N=5
R=3
对于范围内的idx（选择（N，R））：
打印（idx，组合_在_idx（idx，列表（范围（N）），R））

我发现,

0 [0, 1, 2]
1 [0, 1, 3]
2 [0, 1, 4]
3 [0, 2, 3]
4 [0, 2, 4]
5 [0, 3, 4]
6 [1, 2, 3]
7 [1, 2, 4]
8 [1, 3, 4]
9 [2, 3, 4]

---

其中，线性索引以零为基。

从结果的第一个元素开始。该元素的值取决于使用较小元素可以获得的组合数。对于每个这样较小的第一元素，与第一元素k的组合的数目为n− K− 1选择r− 1，可能会进行一些逐个更正。所以你可以对一组二项式系数求和。Wolfram Alpha计算了这样一个和，但结果中仍然有一个二项式系数。求最大的k，使得总和不超过给定的指数i，这是一个计算，你不能用像平方根这样简单的东西来做。您需要一个循环来测试可能的值，例如：

tuple combination(i,n,r) {
  return [combination with index i, when the number of elements to choose from is n and elements chosen is r]

def first_naive（i，n，r）：
“”“查找第一个元素以及与该第一个元素的第一个组合的索引。”。
返回值和索引的元组。
示例：first_naive（8,5,3）返回（1,6），因为
索引8是[1,3,4]，所以它以1开头，因为第一个组合
以1开头的是索引为6的[1,2,3]。
"""
s1=0
对于范围（n）内的k：
s2=s1+choose（n-k-1，r-1）
如果i

您可以使用二分法将O（n）循环迭代减少为O（logn）步数，这与大n特别相关。在这种情况下，我发现更容易考虑对列表末尾的项目进行编号。在n=5和r=3的情况下，您会得到

choose（2,2）=1

从2开始的组合，

choose（3,2）=3

从1开始的组合和

choose（4,2）=6

从0开始的组合。因此，在一般的

中，选择（n，r）

二项式系数，每一步增加n，并保持r。考虑到

sum（为范围（r，n+1）中的k选择（k，r））

到

choose（n+1，r+1）

，您最终可以得出如下等分条件：

def first_-bisect（i，n，r）：
nCr=选择（n，r）
k1=r-1
s1=nCr
k2=n
s2=0
当k2-k1>1时：
k3=（k1+k2）//2
s3=nCr-选择（k3，r）
如果s3谢谢，拼写错误。很好，通过回答，谢谢！这在概念上是恰到好处的，所以谢谢你把它讲清楚。我认为大量组合所需的递归次数是禁止的，但这可能可以通过迭代而不是递归来解决。再次感谢@马丁：这里可以很容易地进行迭代，而不是递归。这就是我的代码所做的，但这个答案在我准备好之前就出现了，它涵盖了我的大部分想法。所以我不会发布我的代码，但我改投了这个。谢谢，这是gre