Math 请解释一下这个交叉测试函数

我查看了geometry类中提供的几个函数，发现这个注释非常糟糕的函数，它显然测试两条直线之间是否存在交点。有人能给我解释一下这是怎么回事吗

inline bool LineIntersection2D(Vector2D A,
                               Vector2D B,
                               Vector2D C, 
                               Vector2D D)
{
   double rTop = (A.y-C.y)*(D.x-C.x)-(A.x-C.x)*(D.y-C.y);
   double sTop = (A.y-C.y)*(B.x-A.x)-(A.x-C.x)*(B.y-A.y);

   double Bot = (B.x-A.x)*(D.y-C.y)-(B.y-A.y)*(D.x-C.x);

   if (Bot == 0)//parallel
   {
      return false;
   }

    double invBot = 1.0/Bot;
    double r = rTop * invBot;
    double s = sTop * invBot;

    if( (r > 0) && (r < 1) && (s > 0) && (s < 1) )
    {
        //lines intersect
        return true;
    }

//lines do not intersect
return false;
}

内联布尔线相交2D（矢量2D A，
向量2db，
向量C，
向量（2D）
{
双rTop=（A.y-C.y）*（D.x-C.x）-（A.x-C.x）*（D.y-C.y）；
双止点=（A.y-C.y）*（B.x-A.x）-（A.x-C.x）*（B.y-A.y）；
双机器人=（B.x-A.x）*（D.y-C.y）-（B.y-A.y）*（D.x-C.x）；
如果（Bot==0）//并行
{
返回false；
}
双invBot=1.0/Bot；
双r=rTop*invBot；
双s=停止*invBot；
如果（（r>0）&（r<1）&（s>0）&（s<1））
{
//线相交
返回true；
}
//直线不相交
返回false；
}

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从我收集的数据来看，A和B是第一行的两点，C和D是第二行的两点。从那以后，我完全迷路了。提前谢谢

首先让我们确定一些向量。设

u=B-A

，

v=D-C

和

w=A-C

。第一行

double rTop = (A.y-C.y)*(D.x-C.x)-(A.x-C.x)*(D.y-C.y);
double sTop = (A.y-C.y)*(B.x-A.x)-(A.x-C.x)*(B.y-A.y);
double Bot = (B.x-A.x)*(D.y-C.y)-(B.y-A.y)*(D.x-C.x);

转化为

rtop = v X w 
stop = u X w
bot  = u X v

这里的

uxv

是二维版的叉积，它给出了平行四边形的有符号区域和边

u

，

v

假设有交点p，我们可以写

P = r u  + A.

参数r的范围为0到1，以给出线段。我们也可以写作

P = s v + C

我们可以将这些设置为相等

r u + A = s v + C

然后减去C

r u + A - C = s v

或

这是一个二维向量方程，包含两个变量r和s。我们可以通过将与

u

或

v

的叉积取为

uxu=0

来消除r或s

r u X u + w X u = s v X u

所以

及

同样地，用

v

取叉积可以消除s

r u X v + w X v = s v X v
r u X v + w X v = 0
r = - (w X v) / (u X v)
r = ( v X w )/ (u X v)

某个地方有个迹象，但我希望它能给出要点

r和s必须介于0和1之间，交点才能位于线段上

我们可以从几何角度来解释这一点。让我们举一个例子，u是水平的，v是垂直的

现在，

uxv

给出矩形的面积，

wxv

给出平行四边形的面积。我们可以看到，两个面积的比率与长度AB与AP的比率相同

下面是一个更一般的立场案例的另一个视图

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sTop=vxw

是平行四边形ACDE的面积，

Bot=uxv

是较大的平行四边形ABFE的面积。两者的比率告诉您交点沿AB线有多远。

您一般了解直线交点方程式吗？不是这个函数，而是数学方程。如果需要的话，我可以在谷歌上搜索一下。我会说，第1步，让你从代码中了解方程。然后，再看一遍代码，看看是否有什么对你更有意义。顺便说一句，这个问题现在已经离题了。这不是一个需要解释的地方。如果坡度相同，直线平行（或同一直线）。否则它们会在某个地方相交，但这段代码希望线段相交，所以它会检查相交点是否在每组点之间（通过对从一个点到相应端点的航向进行一种参数化查看），好的，但为什么我们要定义这些向量：u、v和w。它们分别代表什么？它们使剩下的计算更容易。u只是从第一段开始到结束的向量。v是从第二段起点到终点的矢量，w是从第二段底部到第一段底部的矢量。

w X u = s v X u

s = ( w X u ) / ( v X u )

r u X v + w X v = s v X v
r u X v + w X v = 0
r = - (w X v) / (u X v)
r = ( v X w )/ (u X v)