如何在MATLAB中求解一个只含一个分量的线性系统

我需要解线性系统

A x = b

这可以通过

x = A \ b

但是现在

A

非常大，实际上我只需要一个组件，比如

x（1）

。有没有比计算

x

的所有组件更有效的方法来解决这个问题

A

不是稀疏的。在这里，效率实际上是一个问题，因为这是为许多

b

所做的

---

此外，存储

K

的倒数并仅将其第一行乘以

b

也是不可能的，因为

K

的条件很差。在这种情况下，使用

\

操作符使用LDL解算器，当显式使用逆运算时，精度会降低。

我认为从技术上讲，在非常优化的Matlab例程中，你不会得到一个加速。但是，如果你理解它是如何求解的，那么你可以只解x的一部分。例如，在传统解算器中，您使用backsub进行QR解算。在LU解算中，你同时使用后潜艇和前潜艇。我可以得到LU。不幸的是，它实际上是从最后开始的，因为它是如何解决它的。低密度脂蛋白也是如此，二者兼有。这并不排除这样一个事实，即可能有更有效的方法来解决你所拥有的问题

 function [Q,R] = qrcgs(A)
%Classical Gram Schmidt for an m x n matrix 

[m,n] = size(A); 
% Generates the Q, R matrices
Q = zeros(m,n); 
R = zeros(n,n);
    for k = 1:n
        % Assign the vector for normalization
        w = A(:,k);
        for j=1:k-1
            % Gets R entries
            R(j,k) = Q(:,j)'*w;
        end

        for j = 1:k-1
           % Subtracts off orthogonal projections 
           w = w-R(j,k)*Q(:,j);
        end
        % Normalize 
        R(k,k) = norm(w);
        Q(:,k) = w./R(k,k);
    end

end

function x = backsub(R,b)
% Backsub for upper triangular matrix.
[m,n] = size(R);
p = min(m,n);
x  = zeros(n,1);

    for i=p:-1:1
        % Look from bottom, assign to vector
        r = b(i);
        for j=(i+1):p
            % Subtract off the difference
            r = r-R(i,j)*x(j);
        end
        x(i) = r/R(i,i);
    end

end

通常表示为

\

的方法可以同时使用相同的

A

求解多个系统

x = A\[b1 b2 b3 b4] # where bi are vectors with n rows

为每个

b

求解系统，并将返回一个nx4矩阵，其中每列都是每个

b

的解。这样调用mldivide应该可以提高效率，因为分解只执行一次

在许多分解中，如LU od LDL'（以及您特别感兴趣的分解），矩阵乘以

x

是上对角线，要求解的第一个值是

x（n）

。然而，必须进行LDL分解，简单的向后替换算法不会成为代码的瓶颈。因此，可以保存分解，以避免对每个

bi

重复计算。因此，代码看起来与此类似：

[LA,DA] = ldl(A);
DA = sparse(DA);
% LA = sparse(LA); %LA can also be converted to sparse matrix
% loop over bi
  xi = LA'\(DA\(LA\bi));
% end loop

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正如您在mldivide（）的文档中所看到的，它对输入矩阵执行一些检查，并将

LA

定义为full，将

DA

定义为sparse，它应该直接用于三角形解算器和三对角解算器。如果

LA

被转换为稀疏，它也会使用一个三角形解算器，我不知道转换为稀疏是否代表任何改进。

存储因子分解很有意义。我以前确实在另一个环境中做过，但现在想不起来了。感谢您的提醒。很高兴能提供帮助，关键是“根据输入矩阵使用许多不同的解算器，如算法部分所述，因此将mldivide应用于alredy分解矩阵应该比原始系统快得多。这是一个很好的基本答案。但是，我不会尝试它，因为正如您所说，它很可能仍然比内置方法慢。