Matlab 正交多项式的数值计算

我写了一些计算正交多项式的Matlab程序，作为一个健全的检查，我试图确保它们的点积为零

但是，虽然我相当肯定不会有太多的问题，但我发现自己的行为有点奇怪。我的测试很简单：

x = -1:.01:1;
for i0=0:9
  v1 = poly(x, i0);
  for i1=0:i0
    v2 = poly(x,i1);
    fprintf('%d, %d: %g\n', i0, i1, v1*v2');
  end
end

（注意点积

v1*v2'

需要如此循环，因为

x

是一个水平向量。）

现在，为了结束这个故事，我最终得到了接近0的值（数量级约为1e-15），这对度加起来就是一个奇数（即，

i0+i1=2k+1

）。当

i0==i1

时，我希望点积不是0，但当

i0+i1=2k

时也会发生这种情况，这是我没有预料到的

为了给你们更多的细节，我首先用第一类切比雪夫多项式做了这个测试。现在，它们与重量是正交的

1 ./ sqrt(1-x.^2)

当

x

变为1时，它将变为无穷大。所以我认为省略这个术语可能是非零点积的原因

然后，我用勒让德多项式做了同样的测试，得到了完全相同的结果：当度数之和为偶数时，点积肯定远离0（数量级为1e2）

最后一个细节，我使用三角公式

cos（n*acos（x））

来计算切比雪夫多项式，我尝试了递归公式以及涉及二项式系数的公式来计算勒让德多项式

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有人能解释这种奇怪（双关语）的行为吗？

你被对称误导了。和多项式都是奇偶算子的本征函数，这意味着它们都可以分为奇偶函数。我猜你的自定义正交多项式也是如此

由于这种对称性，如果将多项式

pn（x）

乘以

pm（x）

，那么如果

n+m

是奇数，则结果将是奇数函数，否则结果将是偶数函数。您正在计算原点周围一组对称的

xuk

值的

sum\kp\n（xuk）*P\m（xuk）

。这意味着对于奇数

n+m

您将始终得到零。试着用一个勒让德和切比雪夫多项式来计算。我的观点是，对于

n+m=odd

，结果不会告诉你任何关于正交性或积分精度的信息

问题是你可能积分不够精确。这些在

[-1,1]

上定义的正交多项式在其域上变化非常迅速，尤其是在边界附近（

x==+-1

）。尝试使用非等距网格增加积分点，或使用

integral

进行适当积分

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最后注意：我建议您不要调用函数

poly

，因为。（事实也是如此。）

没错。好的，所以我尝试了积分，但仍然得到了非零的结果，尽管比以前小了（顺序为1e-1，1e-2）。关于对称性的观点很好，这很有道理。（我实际上没有调用任何函数

poly

或

legendre

，只是为了简化帖子的代码。不过谢谢提醒！）@Roberto你也得到了切比雪夫多项式和legendre多项式的大量标量积吗？没有，实际上，如果我在切比雪夫多项式和勒让德多项式之间的乘积上使用

积分

，我会得到非常小的值（大约1e-15）。好奇…@Roberto这是你的答案：）这意味着现在你的积分是准确的，所以你的自定义多项式出了问题。要么它们变化很快（我不这么认为，但无论如何你应该绘制它们），要么它们没有正确地正交化。在正交化过程中也应该使用

积分

，否则结果也会不准确。好了，我们开始吧。因此，使用

integral

毕竟一切都正常工作。勒让德多项式的结果接近于0，而我刚才遇到的问题是切比雪夫多项式。但是我忘了你需要将它们的乘积除以

sqrt（1-x.^2）

，一旦我包含了这个因子，那么

integral

开始给我正确的结果。谢谢你的帮助！