Numpy 为什么特征值分解的TensorFlow和PyTorch梯度彼此不同，解析解也不同？

下面的代码计算实对称矩阵的特征值分解。然后，计算第一特征值相对于矩阵的梯度。这要做三次：1）使用解析公式，2）使用TensorFlow，3）使用PyTorch。这会产生三种不同的结果。有人能给我解释一下这种行为吗

import numpy as np
import torch
import tensorflow as tf


np.set_printoptions(precision=3)
np.random.seed(123)

# random matrix
matrix_np = np.random.randn(4, 4)
# make symmetric
matrix_np = matrix_np + matrix_np.T
matrix_torch = torch.autograd.Variable(torch.from_numpy(matrix_np), requires_grad=True)
matrix_tf = tf.constant(matrix_np, dtype=tf.float64)

#
# compute eigenvalue decompositions
#
# NumPy
eigvals_np, eigvecs_np = np.linalg.eigh(matrix_np)
# PyTorch
eigvals_torch, eigvecs_torch = torch.symeig(matrix_torch, eigenvectors=True, upper=True)
# TensorFlow
eigvals_tf, eigvecs_tf = tf.linalg.eigh(matrix_tf)

# make sure all three versions computed the same eigenvalues
if not np.allclose(eigvals_np, eigvals_torch.data.numpy()):
    print('NumPy and PyTorch have different eigenvalues')
if not np.allclose(eigvals_np, tf.keras.backend.eval(eigvals_tf)):
    print('NumPy and TensorFlow have different eigenvalues')

#
# compute derivative of first eigenvalue with respect to the matrix
#
# analytic gradient, see "On differentiating eigenvalues and eigenvectors" by Jan R. Magnus
grad_analytic = np.outer(eigvecs_np[:, 0], eigvecs_np[:, 0])
# PyTorch gradient
eigvals_torch[0].backward()
grad_torch = matrix_torch.grad.numpy()
# TensorFlow gradient
grad_tf = tf.gradients(eigvals_tf[0], matrix_tf)[0]
grad_tf = tf.keras.backend.eval(grad_tf)

#
# print all derivatives
#
print('-'*6, 'analytic gradient', '-'*6)
print(grad_analytic)
print('-'*6, 'Pytorch gradient', '-'*6)
print(grad_torch)
print('-'*6, 'TensorFlow gradient', '-'*6)
print(grad_tf)

印刷品

------ analytic gradient ------
[[ 0.312 -0.204 -0.398 -0.12 ]
 [-0.204  0.133  0.26   0.079]
 [-0.398  0.26   0.509  0.154]
 [-0.12   0.079  0.154  0.046]]
------ Pytorch gradient ------
[[ 0.312 -0.407 -0.797 -0.241]
 [ 0.     0.133  0.52   0.157]
 [ 0.     0.     0.509  0.308]
 [ 0.     0.     0.     0.046]]
------ TensorFlow gradient ------
[[ 0.312  0.     0.     0.   ]
 [-0.407  0.133  0.     0.   ]
 [-0.797  0.52   0.509  0.   ]
 [-0.241  0.157  0.308  0.046]]

三个结果的主对角线是相同的。TensorFlow和PyTorch的非对角元素是解析元素的两倍或等于零

这是故意的行为吗？为什么没有记录？梯度错了吗

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版本信息：TensorFlow 1.14.0，PyTorch 1.0.1

关于保证对称的矩阵的梯度并没有很好地定义（偏离对角线），因为有效的实现可能依赖于元素或其对立面（或两者的加权和）

例如，对2x2对称矩阵

x

的元素求和的函数的有效实现如下

f(x) = x[0][0]+x[0][1]+x[1][0]+x[1][1]

但另一个有效的实现是

f(x) = x[0][0]+x[1][1]+2*x[0][1]

如果对称矩阵是保证矩阵始终对称的较大计算的一部分（例如，

x=[[a，b]，[b，c]

，其中

a

，

b

和

c

是一些标量），然后，更大计算的梯度不受对称矩阵函数梯度定义方式的影响（在我这里运行的示例中，无论如何定义

f

，我们都会有

df/da=df/dc=1

和

df/db=2

）

也就是说，对称梯度是一个很好的选择（正如在注释中链接的PyTorch PR中所解释的），因为这意味着如果你碰巧在对称矩阵上进行梯度下降更新，矩阵将保持对称

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另外，请注意，TensorFlow仅使用矩阵的下三角部分进行计算，并相应地使用报告的梯度。

FYI：我使用Ppytorch 1.3运行了您的代码，并且

matrix\u torch.grad.numpy（）

与我的分析梯度相同。谢谢！我发现这个问题很明显，下三角矩阵确实是一个bug，PyTorch修复了它。所以它可能也是TensorFlow中的一个bug。谢谢！有人让我意识到了这篇文章：这篇文章讨论了对称矩阵的标量函数的梯度有两个概念，但正如作者所证明的，其中一个是错误的。根据作者的说法，错误的定义主要被统计学家和电气工程师使用。特别是，正如我所注意到的，在著名的matrix食谱中可以找到的公式是不正确的。