Opengl 变换曲面法向量和切向量

根据一本书《基于物理的渲染：从理论到实现》。马特·法尔，格雷格·汉弗莱斯（，第86-87页），
曲面切线向量使用变换矩阵M变换为公共向量，但
曲面法向量使用进行变换

我想知道为什么缩放确实会使法线不正确，但不会接触切线向量？为什么法线如此特殊

看这本书上的数字

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我已经读到，为了保持法线和切线的正交性，需要对法线进行这样的变换。但我想得到一些直观的解释。

对我来说，直觉是旋转（以及通常可以用正交矩阵描述的所有变换）满足 . 这意味着，对于这些类型的转换，处理一点也不特殊

下面是一个非正交对称矩阵的简单示例，该示例说明仅使用该矩阵变换法线是不够的

这里可以看到，您需要使用变换法线，在对称情况下，它等于

注意，这已经涵盖了相当多的转换。就我个人而言，我发现非正交和非对称的变换本身不是很直观，所以我求助于数学解释，这是保持正交性所必需的。因为这是曲面法线的定义属性，所以我觉得这个论点很有道理。也许写出来会让事情变得更清楚：

因此，本书中的转换规则的优点是，它为所有您能想到的转换提供了正确的法线

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希望这能有所帮助。

理论上法线不是真正的向量，它们确实是最好的，尽管如此，在3D中，向量和双向量都有三个分量，所以通常可以识别它们。如果我们生活在一个四维世界，我们就不会有这种困惑。这些向量将有4个分量和6个分量

双向量和/或轴向向量之间存在细微差异。如果i，j，k是向量的基本元素，那么双向量具有基j^k，i和i^j，Hodge对偶映射一个集合到另一个集合，并将双向量发送到伪向量。二元向量可以看作是其他两个向量的叉积

如果您认为法线始终是某对切线向量的叉积，则可以通过首先变换两个切线向量，然后取它们的叉积来找到法线如何变换

让我们把问题中的图表想象成一个穿过圆柱体的切片。在第一幅图中，当圆的横截面为两个切线向量时，分别为

（1/rt2，1/rt2，0）

和

（0,0,1）

，其中rt2=sqrt（2）。取叉积得到

( 1/rt2 )    ( 0 )    (  1/rt2 )
( 1/rt2 ) X  ( 0 ) =  ( -1/rt2 )
(   0   )    ( 1 )    (   0    )

正常的。现在应用挤压（x，y，z）->（x，y/2，z），切线向量变换为

（1/rt2，1/（2 rt2），0）

和

（0,0,1）

。以叉积为例

( 1/rt2     )    ( 0 )    (  1/(2 rt2) )
( 1/(2 rt2) ) X  ( 0 ) =  ( -1/rt2     )
(   0       )    ( 1 )    (   0        )

并归一化为

（1/sqrt（5），-2/sqrt（5），0）

不管我们选择哪对切向量，我们仍然会得到相同的结果。上面的计算有点冗长，需要找到一对合适的切线向量。只使用逆矩阵的转置更简单