Performance Matlab：高效和低效地乘法矩阵

问题只在于矩阵

A

、

B

、

C

和

D

，它们分别是

n*n

和

x

，它们是长度

n

的向量，在Matlab上以最有效的方式和最低效的方式找到

E=DCBAx

计算

E

最明显的方法就是直接将它们相乘

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这是最有效的方法吗？效率最低的方法是什么？

让我们为这个例子创建虚拟矩阵和向量

n = 1000;
A = rand(n, n);
B = rand(n, n);
C = rand(n, n);
D = rand(n, n);
x = rand(n, 1);

然后我们可以为矩阵积定义一些函数句柄，在这些句柄中我们强制执行操作的顺序

fun1 = @() D*C*B*A*x;
fun2 = @() (D*C*B*A)*x;
fun3 = @() (D*(C*(B*A)))*x;
fun4 = @() D*(C*(B*(A*x)));

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使用

timeit

进行的简单执行时间评估表明

fun1

、

fun2

和

fun3

的执行方式几乎相同，而

fun4

的执行速度大约快100倍。这种行为的原因是，在前三种情况下，我们需要3个矩阵积和1个矩阵向量积，而在最后一种情况下，只执行4个矩阵向量积。有趣的是，当Matlab评估

fun1

时，它无法识别这个简单的优化相关：？效率最低确实是一个有点没有实际意义的问题，有无限多的解决方案会表现平庸。然而，对于此类操作，与内置矩阵乘法相比，使用嵌套循环实现矩阵乘法算法的性能通常非常差。