Performance 算法：分治和时间复杂度O（nlogn）有什么关系？

在我的算法和数据结构类中，首先介绍了

分治算法

，即

合并排序

在执行作业算法时，我想到了几个问题

使用分治范式实现的任何算法的时间复杂度是否为O（nlogn）

该方法中的递归部分是否有能力将以O（n^2）运行的算法压缩为O（nlogn）

是什么让这样的算法首先运行在O（nlogn）中

对于（3），我假设这与递归树和可能的递归数有关。有人可能会用一个简单的以O（nlogn）运行的分而治之算法来说明复杂性是如何计算的吗

干杯，

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Andrew

不，分而治之不能保证O（nlogn）性能。这完全取决于问题在每次递归中如何简化

在合并排序算法中，原始问题被分成两半。然后对结果执行O（n）操作。这就是O（n…）的来源

现在，两个子操作中的每一个子操作都有自己的

n

，其大小为原始操作的一半。每次你递归，你又把问题一分为二。这意味着递归的数量将是log2（n）。这就是O（…logn）的来源

使用分治范式实现的任何算法的时间复杂度是否为O（nlogn）

一般来说，快速排序和合并排序的时间复杂度为O（n log（n）），但并不总是这样。

该方法中的递归部分是否有能力将运行在类似O（n^2）到O（nlogn）的算法压缩

这不仅仅是看起来的，它还取决于其他因素，比如与每个递归调用的输入相关的操作数

我强烈建议这样做，您可以看到为什么MergeSort是O（n log（n））

是什么让这样的算法首先运行在O（nlogn）中

同样，这只是一个与输入大小相关的算法消耗时间的指标，因此说一个算法的时间复杂度为O（n log（n））并没有给出算法是如何实现的任何信息，只是说当输入开始大量增加时，所用的时间不会成正比增加，而是需要更多的时间

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我想你的问题的所有答案都可能来自It，它告诉你几乎任何分治解决方案的复杂性，是的，它必须使用递归树做所有事情，通过使用参数，你会发现一些分治解决方案不会有O（nlogn）复杂性，事实上有

就问题2而言，它并不总是可能的，事实上，有一些问题被认为不可能比O（n^2）更快地解决，这取决于问题的性质

下面是一个运行在O（nlogn）中的算法示例，我认为它具有非常简单、清晰且具有教育意义的运行时分析。从下图可以看出：

所以每个递归步骤，输入被分成两部分，然后征服部分取O（n），所以树的每一层都要消耗O（n），棘手的部分可能是递归层的数量（树的高度）怎么可能是logn。这或多或少是简单的。因此，在每一步中，我们将输入分成两部分，每个部分有n/2个元素，并递归地重复，直到我们有一些恒定大小的输入。因此，在第一级，我们除以n/2，再除以n/4，然后再除以n/8，直到我们得到一个恒定大小的输入，这将是树的一片叶子，最后一个递归步骤

在第i步，我们除以n/2^i，让我们在最后一步找到i的值。我们需要n/2^i=O（1），这是在2^i=cn时实现的，对于一些常数c，我们从两边取以2为底的对数，得到i=clogn。因此，最后一个递归步骤将是clogn th步骤，因此树具有clogn高度

因此，对于每个clogn递归（树）级别，MergeSort的总成本将为cn，这就给出了O（nlogn）复杂性

一般来说，只要递归步骤具有O（n）复杂度，您就可以确信您的算法将具有O（nlogn）复杂度，并且您可以将问题划分为大小为n/b的b个问题，或者更一般的问题，如果部分是n的线性分数，则加起来等于n。在不同的情况下，很可能会有不同的运行时

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回到问题2，在快速排序的情况下，可能会从O（n^2）到θ（nlogn），这正是因为平均随机情况实现了一个很好的分区，尽管运行时分析比这还要复杂。

使用分治范式实现的任何算法的时间复杂度是否为O（nlogn）？

不，分而治之的一般公式是：

2是每个递归调用中的操作数，是用子问题除法的递归调用，是征服的线性操作数

是什么让这种算法首先在O（nlogn）中运行？

对数线性时间的一个很好的例子是合并排序算法：

该方法中的递归部分是否有能力将类似于O（n^2）的算法压缩为O（nlogn）？

主定理用于确定分治算法的运行时间

如果复发是以这种形式出现的

然后

示例

让

因为2=4^

a = 2
b = 4
d = 1/2