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Python 给出概率论界的大O表示法？

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我试图估计以下算法的运行时复杂性：

for i in range(0, len(arr)):
    for j in range(i+1, len(arr)):
        if distance(arr[i], arr[j]) > 2:
            pass
距离函数的复杂度为
min（len（arg1），len（arg2））
。理论上，参数的最大长度可以达到N，但在实践中，它通常超过N的20%

由此，我可以将运行时函数估计为：

f（N）=N*（N/2）*（N*.2）

那是大O符号中的O（N^2）还是O（N^3）？如果是O（n^3），那么在实践中，如何证明运行时总是更接近O（n^2）而不是O（n^3）

谢谢

还是
O（n^3）
。人们可能会认为
O（0.0000001*n^3）
比
O（n^2）
更好。但是如果我们讨论一个算法的理论复杂性，那么只要假设
n
可以大到
10^100
，你就会明白
O（n^3）
在性能方面“更差”。

让len（arr）=n

由于原始状态在第二个循环中，让我们看看它运行了多少次

内部循环运行

第一次N-1次

第二次N-2次

第三次N-3次

。。。 ...

第（N-1）次为1次

很明显，总数是=（N-1）（N）/2=X（比如说）。距离函数是X次执行的，在<强>渐近分析< /强>中，我们考虑最坏的情况，这意味着距离函数的复杂性为O（n）。 因此T（N）=（（N-1）（N）/2）N=Y（假设）

使用大O的定义

Y=1，c=1

因此T（N）=O（N^3）

你问：

如果是O（n^3），那么在实践中，如何证明运行时总是更接近O（n^2）而不是O（n^3）

答案是“更近”并不重要。只有“大于”和“小于”的物质

大O给出一个上限 如果一个过程的运行时复杂度最终超过了任何常数c或更大的c*n^2，并且有足够大的值n，那么它不可能是O（n^2）

这是因为big-O操作符没有给出估计；它给出了一个上限。即使是在固定时间内运行的过程也仍然是O（n^3）。（它也是O（n^2）、O（log（n））、O（n！）等等）。这是因为对于某些常量乘数c和较大的n值，它比所有这些运行时都要小

一个具体的例子 为了使这一点具体化，请考虑以下内容：

>>> def fa(n):
...     return n * n * n // 10
... 
>>> def f2(n):
...     return n * n
... 
>>> def f3(n):
...     return n * n * n
...
对于上述运行时和较小的
n
，
fa
仍然小于或等于
f2
：

>>> fa(10), f2(10), f3(10)
(100, 100, 1000)
但是如果我们将
n
乘以10，
fa
超过
f2

>>> fa(100), f2(100), f3(100)
(100000, 10000, 1000000)
不难看出，即使我们通过一个恒定的乘数
c
来增加
f2
，我们仍然可以找到
n
的值，使得
fa（n）
更大

>>> def f2_boost(n, c):
...     return f2(n) * c
... 
>>> fa(1000), f2_boost(1000, 10), f3(1000)
(100000000, 10000000, 1000000000)
为什么要使用常数乘数？ 运行时为n^3*0.1的过程与运行时为1000*n^3的过程属于同一个big-O类别，您可能仍然会感到困惑。毕竟，这两个运行时之间的绝对差异是巨大的

这有点难以解释，但当您提醒自己大O符号应该用来描述缩放行为时，它就开始有意义了。或者，换一种说法，大O表示法应该描述当我们改变用于测量的单位大小时，运行时是如何变化的

让我们举一个具体的例子：假设你想知道一座建筑物的高度。假设有人说“哦，大约300米。”你可能会对这个回答感到满意；你可能不在乎它到底有315米；300是一个足够好的估计。但如果他们说“哦，大约300米……或者是300英尺？”你可能会觉得不太满意，因为300米的高度是300英尺的三倍多

在计算机科学中，我们在测量时间时就遇到了这个问题。事实上，情况更糟。不同的计算机可能比其他计算机快得多，也可能慢得多。如果我们用“计算机执行的计算次数”来度量时间，那么对于某些计算机，我们将以百分之一秒来度量时间，而对于其他计算机，我们将以十亿分之一秒来度量时间。如果我们想以一种不会被巨大差异扭曲的方式来描述算法的行为，那么我们需要一种“尺度不变”的度量——也就是说，无论我们使用百分之一秒还是十亿分之一秒作为单位，这种度量都能给出相同的答案

大O表示法提供了这样一种度量。它为我们提供了一种测量运行时的方法，而无需太多地担心我们用来测量时间的单位的大小。本质上，说一个算法是O（n^2）就是说，对于任何等于或大于某个值c的时间单位，n都有一个对应的值，因此对于所有较大的值n，我们的过程都将在c*n^2之前完成

估计运行时 如果您想讨论估算运行时，那么您需要一个名为“大θ”的度量。简而言之，大O给出了任意大乘法器c的上界；大ω给出了任意大乘法器c的下界；大θ给出了一个定义上界和下界的函数，这取决于乘数c的选择

在您的例子中，较大的θ值将是O（n^3），因为您可以选择一个常数乘数c1，使c1*n^3始终大于n^3/10，并且您可以选择一个常数乘数c2，使c2*n^3始终小于n^3/10

.1*O（N^3）
仍然是
O（N^3）
。这与
O（N^2）
并不接近。嘿，非常感谢你的详细回答。我想我也可以把它写成f（N）=N*（N/2）*d（N）。如果我能在d（N）上断言一个上界，这将使我