Python numpy可以用实数算法对斜对称矩阵进行对角化吗？

任何斜对称矩阵（A^T=-A）都可以转换为厄米矩阵（iA）并用复数对角化。但它是把它带入，并找到它的Eige值只使用真正的算术。这在numpy的任何地方都可以实现吗？

让我们看看LAPACK库的功能。此例程计算任何实双精度平方矩阵的特征值。此外，此例程位于numpy库的python函数后面

dgeev（）

使用的方法如中所述。它需要将矩阵

A

缩减为其

S

任何实方阵

A

都可以表示为：

A=QSQ^t

其中：

• Q

  是一个实正交矩阵：

  QQ^t=I

• S

  是实块上三角矩阵。S对角线上的块大小为1×1或2×2

事实上，如果

A

是斜对称的，那么这种分解似乎非常接近

A

的A。此外，我们还可以看到，斜对称矩阵A的Schur形式是。。。斜对称

实际上，让我们计算

s

的转置：

S^t=(Q^tAQ)^t
S^t=Q^t(Q^tA)^t
S^t=Q^tA^tQ
S^t=Q^t(-A)Q
S^t=-Q^tAQ
S^t=-S

因此，如果

Q

是特殊正交（

det（Q）=1

），则

S

是通过特殊正交变换获得的块对角形式。另外，可以通过排列

Q

的前两列来计算一个特殊的正交矩阵

P

，并且通过改变

S_{12}

和

S_{21}

的符号来获得矩阵

a

的另一种舒尔形式

Sd

。实际上，

A=PSdP^t

。然后，

Sd

是通过特殊正交变换获得的

a

的块对角形式

最后，即使应用于实数矩阵返回复数，也几乎不需要复杂的计算

如果您只想计算实Schur形式，请使用带有参数

output='real'

的函数

只需一段代码来检查：

将numpy导入为np
将scipy.linalg作为la导入
a=np.random.rand（4,4）
a=a-np.转置（a）
打印“a=”
打印
#特征值
w、 v=np.linalg.eig（a）
打印“特征值”
打印w
打印“特征向量”
印刷品
#舒尔分解
#进口西皮
#打印scipy.version.version
t、 z=la.schur（a，output='real'，lwork=None，overwrite\u a=True，sort=None，check\u finite=True）
打印“舒尔表格”
打印t
打印“正交矩阵”
打印z
<代码> > P>是的，您可以通过在产品的中间插入一个酉变换，从而得到

A=V*U*V^-1=V*T'*T*U*T'*T*V^{-1}

一旦你有了这个想法，你可以通过平铺来优化代码，但是让我们通过显式地形成T来用一种简单的方式来实现

如果矩阵大小为偶数，则所有块都是复数共轭体。否则我们得到一个零作为特征值。特征值保证有零实部，因此第一件事是清除噪声，然后排序，使零位于左上角（任意选择）

显然，我们也需要对特征向量矩阵重新排序，以保持其等价性

vnew = v[:,perm]

到目前为止，我们除了在特征值分解中对中间的特征值矩阵重新排序外，什么也没做。现在我们从复数形式切换到实块对角形式

首先我们要知道有多少零特征值

numblocks = np.flatnonzero(unew).size // 2
num_zeros = n - (2 * numblocks)

然后我们基本上，形成另一个幺正变换（这次很复杂），并以同样的方式坚持它

T = sp.linalg.block_diag(*[1.]*num_zeros,np.kron(1/np.sqrt(2)*np.eye(numblocks),np.array([[1.,1j],[1,-1j]])))

Eigs = np.real(T.conj().T.dot(np.diag(unew).dot(T)))
Evecs = np.real(vnew.dot(T))

这将为您提供新的实值分解。所以代码都在一个地方

n = 5
a = np.random.rand(n,n)
a=a-np.transpose(a)
[u,v] = np.linalg.eig(a)

perm = np.argsort(np.abs(np.imag(u)))
unew = 1j*np.imag(u[perm])
vnew = v[perm,:]
numblocks = np.flatnonzero(unew).size // 2
num_zeros = n - (2 * numblocks)
T = sp.linalg.block_diag(*[1.]*num_zeros,np.kron(1/np.sqrt(2)*np.eye(numblocks),np.array([[1.,1j],[1,-1j]])))
Eigs = np.real(T.conj().T.dot(np.diag(unew).dot(T)))
Evecs = np.real(vnew.dot(T))
print(np.allclose(Evecs.dot(Eigs.dot(np.linalg.inv(Evecs))) - a,np.zeros((n,n))))

给出
真值
。请注意，这是获得真实光谱分解的简单方法。有很多地方需要跟踪数值误差累积

示例输出

Eigs
Out[379]: 
array([[ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        , -0.61882847,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.61882847,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        , -1.05097581],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  1.05097581,  0.        ]])

Evecs
Out[380]: 
array([[-0.15419078, -0.27710323, -0.39594838,  0.05427001, -0.51566173],
       [-0.22985364,  0.0834649 ,  0.23147553, -0.085043  , -0.74279915],
       [ 0.63465436,  0.49265672,  0.        ,  0.20226271, -0.38686576],
       [-0.02610706,  0.60684296, -0.17832525,  0.23822511,  0.18076858],
       [-0.14115513, -0.23511356,  0.08856671,  0.94454277,  0.        ]])

你为什么要那样？无论哪种方式，特征值都是相同的。
Eigs
Out[379]: 
array([[ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        , -0.61882847,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.61882847,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        , -1.05097581],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  1.05097581,  0.        ]])

Evecs
Out[380]: 
array([[-0.15419078, -0.27710323, -0.39594838,  0.05427001, -0.51566173],
       [-0.22985364,  0.0834649 ,  0.23147553, -0.085043  , -0.74279915],
       [ 0.63465436,  0.49265672,  0.        ,  0.20226271, -0.38686576],
       [-0.02610706,  0.60684296, -0.17832525,  0.23822511,  0.18076858],
       [-0.14115513, -0.23511356,  0.08856671,  0.94454277,  0.        ]])