Python N球面上均匀分布随机点的生成算法

我还没有在Python上找到这种算法的实现

大概是这样的：

有两个输入参数：

• n-空间的维数
• m—n-1球体上的点数

我需要将它们大致均匀地排列在n-球体的表面上

坐标轴位于n-1球体的中心。 例如，在规则球体上的3d中，可以定位点

在我看来，斐波那契算法在视觉上非常好。 我不知道是否有类似的n-球。 我有512D的空间，我将在其中放置1000甚至10000个点

如何在python中实现这一点？

有一种简单的方法可以在超球体表面上生成均匀分布

生成具有高斯分布的n个变量（此处列出

l

）。它们形成了一些向量

找到该向量的长度并规范化其分量以提供单位长度结果

示例显示了在10d空间中生成球体上的一个点，还目视检查了圆上点组的均匀性（2d中的球体，hystogram值应接近）

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使用与MBo相同的论点：（Muller 1959，Marsaglia 1972）-[https://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html]我使用numpy在python中展示了我的实现：

import numpy as np

def getRandomSamplesOnNSphere(N , R , numberOfSamples):
    # Return 'numberOfSamples' samples of vectors of dimension N 
    # with an uniform distribution on the (N-1)-Sphere surface of radius R.
    # RATIONALE: https://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html
    
    X = np.random.default_rng().normal(size=(numberOfSamples , N))

    return R / np.sqrt(np.sum(X**2, 1, keepdims=True)) * X

如果需要在N球体内部生成点，可以这样做（参考：）

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（1）从平均值为0、方差为1的高斯分布中生成n个样本的d元组，并将每个d元组规格化为长度为1。那么你的nD元组在（d-1）-球面上近似均匀分布。（d，我假设你指的是球体的嵌入维度，而不是球体本身的维度。例如，一个2-球体是局部二维的东西，它生活在一个三维空间中。）这种方法与另一个受访者在下面发布的方法相同，但我认为这样解释更清楚。（2）分层抽样：将球体分成若干个面积相等的块，并从每个块中取样。你提到了n，它不比d大太多，这意味着纯粹的随机抽样会留下很多空白。我的猜测是，分层抽样，或其他抽样更均匀的方法，将更好地解决这个问题。至于其他更均匀采样的方法，也许你可以在球面上找到一些关于低差异序列（又称准随机数）的东西，这和超球面是一样的。从您的链接：

嵌入（n+1）维欧几里德空间的n-球体称为超球体。

您只需避免一个错误。（2-sphere是3d空间中的曲面等）我想从反转并移植到ND开始：因此只需n次生成伪随机ND矢量

v

，坐标范围

，然后通过

v=v*r/|v |

将矢量长度更改为

r

。这里也有一个非常好的重复（不确定有多大，但至少有一年或两年），但现在找不到（关于生成点正态分布的伪随机超球面）OP，另一种方法是生成非均匀分布，然后以不同的方式对点进行加权（也就是说，在不太密集的区域给点更多的权重）。这是否可行取决于你正在尝试做什么。也许你可以在这里更多地说明你的更大目标。

import numpy as np

def getRandomSamplesOnNSphere(N , R , numberOfSamples):
    # Return 'numberOfSamples' samples of vectors of dimension N 
    # with an uniform distribution on the (N-1)-Sphere surface of radius R.
    # RATIONALE: https://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html
    
    X = np.random.default_rng().normal(size=(numberOfSamples , N))

    return R / np.sqrt(np.sum(X**2, 1, keepdims=True)) * X

import numpy as np

def getRandomSamplesInNSphere(N , R , numberOfSamples):
    # Return 'numberOfSamples' samples of vectors of dimension N 
    # with an uniform distribution inside the N-Sphere of radius R.
    # RATIONALE: https://math.stackexchange.com/q/87238
    
    randomnessGenerator = np.random.default_rng()
    
    X = randomnessGenerator.normal(size=(numberOfSamples , N))
    U = randomnessGenerator.random((numberOfSamples , 1)) 
    
    return R * U**(1/N) / np.sqrt(np.sum(X**2, 1, keepdims=True)) * X