Recursion 构造演算中的递归

如何在（纯）中定义递归函数？我没有看到任何定点组合器。

中的人可能能够提供更多的见解，但这里有一个尝试

归纳数据类型在构造演算中定义为：数据类型是其折叠函数的类型。最基本的例子是自然数，使用类似Coq的表示法定义如下：

nat := forall (T : Type), T -> (T -> T) -> T

这种编码产生两个结果：（1）用于构造自然数的术语

zero:nat

和

succ:nat->nat

，以及（2）用于编写递归函数的运算符

nat\u rec

zero : nat
zero T x f := x

succ : nat -> nat
succ n T x f := f (n T x f)

nat_rec : forall T, T -> (T -> T) -> nat -> T
nat_rec T x f n := n T x f

如果我们对术语

x:T

和

F:T->T

提出

F:=nat\u rec T x F

，我们会发现以下等式是有效的：

F zero = x
F (succ n) = f (F n)

因此，

nat_rec

允许我们通过为基本情况指定返回值

x

和处理递归调用值的函数

f

来定义递归函数。请注意，这不允许我们对自然数定义任意递归函数，而只允许对其参数的前导执行递归调用的函数。允许任意递归将为部分函数打开大门，这将损害微积分的可靠性

这个例子可以推广到其他归纳数据类型。例如，我们可以将自然数列表的类型定义为其折叠权函数的类型：

list_nat := forall T, T -> (nat -> T -> T) -> T

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函数f调用函数g是函数组合。如果f在调用它自己，那么你有一个包含相同函数的函数组合。在CoC中没有不动点组合子是可定义的。这将允许不终止，并且没有不终止的CoC术语。对严格较小的参数进行递归调用（根据有根据的关系）怎么样？Coq中有根据的递归也是根据结构递归实现的（在从有根据的关系派生的“可访问性谓词”上），因此，同样的技术也应该适用。实际上，我不确定Coq的不动点是否容易以这种方式编码，因为Coq的终止检查器所需的原语属性似乎相当重要：它不仅适用于直接子项（去掉一个构造函数后），而且适用于通过传递获得的子项，即使是通过嵌套的不动点来观察，那么对于CiC中Church编码的自然数，归纳原理是如何定义的呢？似乎说还需要其他东西，或者类型“太大”（=包含奇异、奇怪的元素）。@larsr您无法为Church编码类型的所有元素定义归纳原则，无论是在CoC还是在CiC中。归纳原则是引入归纳类型的原因之一。