Time complexity 时间复杂度比较

我得到了这两个算法，每个算法有两个for循环，我认为第一个算法的运行时间是二次的。第二个算法是否具有相同的运行时间-O（n^2）

算法1：

for (int i = 1..n) { 
     for (int j = 1..n) {
          // sort m[i, j]
     } 
}

算法2：

for (int i = 1..n) { 
     for (int j = i..n) {
          // sort m[i, j]
     } 
}

我查看了以前类似的帖子（大O符号），但找不到任何解决我问题的方法-如果你这样做，请给我指出正确的方向

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谢谢

让我们分析算法2，另一个类似

首先让我们同意，

排序m[i，j]

是

O（（j-i）lg（j-i））

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谢谢你的回答。那么你认为这两次都是O（n³）？

Alg 2  = O(sum_{i=1}^n sum_{j=i}^n (j-i)lg(j-i))
      <= O(sum_{i=1}^n sum_{j=i}^n (n-i)lg(n-i))
      <= O(sum_{i=1}^n (n-i)^2 lg(n-i))
       = O(sum_{i=1}^n i^2 lg(i))
      <= O(sum_{i=1}^n i^2 lg(n))
       = O(n^3 lg(n))

Alg 2  = O(sum_{i=1}^n sum_{j=i}^n (j-i)lg(j-i))                      ; take 1/2 of terms
      >= O(sum_{i=n/2}^n sum_{j=(i+n)/2}^n (j-i) lg(j-i))
      >= O(sum_{i=n/2}^n sum_{j=(i+n)/2}^n (n-i)/2 lg((n-i)/2)))      ; because j>=(i+n)/2
      >= O(sum_{i=n/2}^n ((n-i)/2)^2 lg((n-i)/2)))
      >= O(sum_{i=n/2}^{(n+n/2)/2} ((n-i)/2)^2 lg((n-i)/2)))          ; 1/2 of terms
      >= O(sum_{i=n/2}^{3n/4} (n/8)^2 lg(n/8))                        ; -i >= -3n/4
       = O(n^3 lg(n))