Wolfram mathematica 是否有一个“问题”；“正常”；数学中的EqualQ函数？

在

Equal

的文档页面上，我们看到了

机器的近似数 考虑精度或更高 如果它们的最大差异是 最后七位二进制数字（大约 最后两位小数）

以下是示例（32位系统；对于64位系统，在中间添加更多的零）：

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我想知道Mathematica中是否有一个“正常”模拟的

Equal

函数不删除最后7个二进制数字？

我不知道已经定义了一个运算符。但您可以定义，例如：

longEqual[x_, y_] := Block[{$MaxPrecision = 20, $MinPrecision = 20},
                            Equal[x - y, 0.]]  

longEqual[x_, y_] :=
 Block[{
   $MaxPrecision =  Max @@ StringLength /@ ToString /@ {x, y},
   $MinPrecision =  Max @@ StringLength /@ ToString /@ {x, y}},
   Equal[x - y, 0.]]

例如：

longEqual[1.00000000000000223, 1.00000000000000223]
True
longEqual[1.00000000000000223, 1.00000000000000222]
False   

编辑

如果要概括任意位数，可以执行以下操作，例如：

longEqual[x_, y_] := Block[{$MaxPrecision = 20, $MinPrecision = 20},
                            Equal[x - y, 0.]]  

longEqual[x_, y_] :=
 Block[{
   $MaxPrecision =  Max @@ StringLength /@ ToString /@ {x, y},
   $MinPrecision =  Max @@ StringLength /@ ToString /@ {x, y}},
   Equal[x - y, 0.]]

因此，你在评论中的反例同样有效

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嗯

定义该函数的另一种方法是使用SetPrecision：

MyEqual[a_, b_] := SetPrecision[a, Precision[a] + 3] == SetPrecision[b, Precision[b] + 3]

这似乎在所有情况下都有效，但我仍然想知道是否有内置函数。在这样一个原始的任务中使用高级函数是很难看的

In[12]:= MyEqual[x_, y_] := Order[x, y] == 0

In[13]:= MyEqual[1.0000000000000021, 1.0000000000000022]

Out[13]= False

In[14]:= MyEqual[1.0000000000000021, 1.0000000000000021]

Out[14]= True

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此项测试两个对象是否相同，因为1.0000000000000021和1.000000000000002100的精度不同，因此它们不会被视为相同

我提出了一种策略，使用

realdights

来比较数字的实际数字。唯一棘手的是去掉尾随的零

trunc = {Drop[First@#, Plus @@ First /@ {-Dimensions@First@#, 
         Last@Position[First@#, n_?(# != 0 &)]}], Last@#} &@ RealDigits@# &;
exactEqual = SameQ @@ trunc /@ {#1, #2} &;

In[1]  := exactEqual[1.000000000000000000000000000000000000000000000000000111,
                     1.000000000000000000000000000000000000000000000000000111000]
Out[1] := True
In[2]  := exactEqual[1.000000000000000000000000000000000000000000000000000111,
                     1.000000000000000000000000000000000000000000000000000112000]
Out[2] := False

试试这个：

realEqual[a_, b_] := SameQ @@ RealDigits[{a, b}, 2, Automatic]

选择base 2对于确保比较内部表示非常重要

In[54]:= realEqual[1.0000000000000021, 1.0000000000000021]
Out[54]= True

In[55]:= realEqual[1.0000000000000021, 1.0000000000000022]
Out[55]= False

In[56]:= realEqual[
           1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000022
         , 1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000023
         ]
Out[56]= False

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我认为你真的需要说明你想要什么。。。没有办法比较在任何情况下都能让每个人满意的近似实数

无论如何，这里还有几个选择：

In[1]:= realEqual[lhs_,rhs_,tol_:$MachineEpsilon] := 0==Chop[lhs-rhs,tol]

In[2]:= Equal[1.0000000000000021,1.0000000000000021]
        realEqual[1.0000000000000021,1.0000000000000021]
Out[2]= True
Out[3]= True

In[4]:= Equal[1.0000000000000022,1.0000000000000021]
        realEqual[1.0000000000000022,1.0000000000000021]
Out[4]= True
Out[5]= False

随着这两个数字的精度越来越高，如果将

tol

设置得足够高，则始终可以区分它们

请注意，减法是以两个数字中最低的精度进行的。您可以通过执行以下操作以更高的精度实现（这似乎有点毫无意义）

maxEqual[lhs_, rhs_] := With[{prec = Max[Precision /@ {lhs, rhs}]}, 
  0 === Chop[SetPrecision[lhs, prec] - SetPrecision[rhs, prec], 10^-prec]]

也许使用最小精度更有意义

minEqual[lhs_, rhs_] := With[{prec = Min[Precision /@ {lhs, rhs}]}, 
  0 === Chop[SetPrecision[lhs, prec] - SetPrecision[rhs, prec], 10^-prec]]

多亏了Oleksandr Rasputinov最近在官方新闻组发表的文章，现在我学到了两个控制

Equal

和

SameQ

公差的未记录函数：

$EqualTolerance

和

$SameQTolerance

。在Mathematica版本5和更早版本中，这些函数存在于

实验性的

上下文中，并且有很好的文档记录：。从版本6开始，它们没有文档记录，但仍然有效，甚至在尝试为其分配非法值时会出现内置诊断消息：

In[1]:= Internal`$SameQTolerance = a

During evaluation of In[2]:= Internal`$SameQTolerance::tolset: 
Cannot set Internal`$SameQTolerance to a; value must be a real 
number or +/- Infinity.

Out[1]= a

引用Oleksandr Rasputinov：

内部“$EqualTolerance…”。。。需要 机器实际值，指示 小数位数的公差 这应该适用，即。 Log[2]/Log[10]乘以 希望使用的最低有效位 忽略

这样，将<代码>内部$等值公差设置为零，将强制<代码>相等只在所有二进制数字相同的情况下考虑数字相等（不考虑O-<代码>精度< /代码>数字）：

请注意以下情况：

In[3]:= Block[{Internal`$EqualTolerance = 0}, 
           1.0000000000000020 == 1.0000000000000021]
        RealDigits[1.0000000000000020, 2] === RealDigits[1.0000000000000021, 2]
Out[3]= True
Out[4]= True

在这种情况下，两个数字都有

机器精度

，有效地

In[5]:= $MachinePrecision
Out[5]= 15.9546

（

53*日志[10,2]

）。在这样的精度下，这些数字在所有二进制数字中都是相同的：

In[6]:= RealDigits[1.0000000000000020` $MachinePrecision, 2] === 
                   RealDigits[1.0000000000000021` $MachinePrecision, 2]
Out[6]= True

将精度增加到16会使它们不同于任意精度数字：

In[7]:= RealDigits[1.0000000000000020`16, 2] === 
              RealDigits[1.0000000000000021`16, 2]
Out[7]= False

In[8]:= Row@First@RealDigits[1.0000000000000020`16,2]
         Row@First@RealDigits[1.0000000000000021`16,2]
Out[9]= 100000000000000000000000000000000000000000000000010010
Out[10]= 100000000000000000000000000000000000000000000000010011

但不幸的是，

Equal

仍然无法区分它们：

In[11]:= Block[{Internal`$EqualTolerance = 0}, 
 {1.00000000000000002`16 == 1.000000000000000021`16, 
  1.00000000000000002`17 == 1.000000000000000021`17, 
  1.00000000000000002`18 == 1.000000000000000021`18}]
Out[11]= {True, True, False}

这种情况的数量是无限的：

In[12]:= Block[{Internal`$EqualTolerance = 0}, 
  Cases[Table[a = SetPrecision[1., n]; 
    b = a + 10^-n; {n, a == b, RealDigits[a, 2] === RealDigits[b, 2], 
     Order[a, b] == 0}, {n, 15, 300}], {_, True, False, _}]] // Length

Out[12]= 192

有趣的是，有时

realdights

返回相同的数字，而

Order

显示表达式的内部表示形式不相同：

In[13]:= Block[{Internal`$EqualTolerance = 0}, 
  Cases[Table[a = SetPrecision[1., n]; 
    b = a + 10^-n; {n, a == b, RealDigits[a, 2] === RealDigits[b, 2], 
     Order[a, b] == 0}, {n, 15, 300}], {_, _, True, False}]] // Length

Out[13]= 64

但似乎情况正好相反：

In[14]:= 
Block[{Internal`$EqualTolerance = 0}, 
  Cases[Table[a = SetPrecision[1., n]; 
    b = a + 10^-n; {n, a == b, RealDigits[a, 2] === RealDigits[b, 2], 
     Order[a, b] == 0}, {n, 15, 3000}], {_, _, False, True}]] // Length

Out[14]= 0

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SameQ

可以吗？可能是在截断到您想要保留的位数之后。@Simon Try

1.00000000000000000022===1.00000000000000000021

。你会发现它不好（猜测）也许Mathematica没有把最后一个数字看作是默认精度的一个有效数字。你可以用Buttk符号来表示精度足够高，使所有的数字都很重要——1，000000000000000000，22，代码> 100＝＝1，000000000000000000，21，< /代码>100@Alexey-这就是为什么我说你必须截短到您要比较的数字。@Alexey顺便说一句，硬件浮点可以给出不确定的结果，这可能是

=

删除数字的原因，谢谢。但是添加更多的零总是会破坏这种方法：

longEqual[1.\00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\00000000000000000000000000000000000000000000000023,1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\00000000000000000000000000000000000000000000000022]

如果至少有一个数字以

NumberMark

：longEqual结尾，则它会工作得更好[1.0000000000000 223`，1.0000000000000 222]@Alexey如果你想保持精度，你应该使用1。

55而不是1。

aloneIt仅在精度与数字长度相同时有效，通常情况下并非如此。MyEqual[1.111

3，1.11100001

3]->True.@Alexey Popkov:我不想设置精度，而是想设置一个与真值的可容忍偏差百分比。例如，让我们假设

xT=245

有一个真值，而

xF=250

有一个假值，但我想设置

xT=xF

，因为与真值的偏差百分比只有2%，而想要容忍这种偏差并接受类似等式的显著性检验。我有大量的等式需要容忍，但我不知道如何为我的等式系统设置这种容忍水平。你能帮我解决这个问题吗？谢谢。@TugrulTemel我建议你在上创建一个具体的问题，并详细描述n和w的例子