如何在3D中高效旋转和平移平面

我有一个由法线（n）和距离（d）（从原点）定义的平面。我想把它转换成一个新的系统。 漫长的道路是这样的： 1） 将距离（d）与法线（n）相乘，得到一个向量（p） 2） 旋转（R）并平移（v）向量（p）得到（p’） 3） 正常化（p'）以获得正常值 4） 使用另一种算法查找新平面与原点之间的最小距离（d'）

我还没试过，但我想它应该能用。 问题: 有没有更快的办法得到n'和d'呢？

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如果翻译（v）为0，则我可以跳过4）。但如果不是0呢？有没有更简单的方法获得新的d'？

你需要小心，因为法线不一定像点那样变换，距离是到原点的垂直距离，所以你必须计算

d'=d+n.v

。如果所做的只是平移和旋转，则可以旋转法线并计算新的垂直距离。但是，如果要以不同的方式缩放轴，或者进行一般的投影变换，则需要以不同的方式处理问题

适用于所有情况的方法是使用齐次坐标，因此所有变换都是4x4矩阵，点和平面都是4向量：

point p=(x,y,z)        -> homogeneous (x,y,z,1), equiv. to (x*W, y*W, z*W, W)
plane q=[n=(a,b,c), d] -> homogeneous [a,b,c,d], equiv. to [a*K, b*K, c*K, d*K)

  -> point p is on plane q iff:  p.q=0   (using homogeneous coords, as above) 

通常，将所有变换矩阵相乘为一个4x4矩阵T，并在每个点上使用该矩阵，以确定其最终变换位置。技巧是，你需要使用T的逆转置来变换你的平面坐标。从以下内容可以看出，这将保留点和平面之间的关联：

point p' = T p
plane q' = (T^-1)^t q

  -> point p' is on plane q' when:  p'.q'=0

  then, note:  p'.q' = p^t T^t (T^-1)^t q = p^t q = p.q
  so:  p'.q'=0  whenever p.q=0

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是的，我只做旋转和平移。不知怎的，我希望能找到一种简单的方法，根据旋转法线或其他东西来计算垂直距离。但是，再一次，计算距离是，它没有那么昂贵。谢谢请对您的解决方案添加一些注释，说明其解决问题的原因和方式

n' = n*R^T
d' = d - n*R^T*trans