简单的3D投影和方向处理？

我目前正在做一个古怪的复古飞行模拟，我的3d项目遇到了一些问题，以至于我找不到关于这个主题的任何可靠的通用文档

在给定以下信息的情况下，如何将游戏世界中的简单位置向量转换为屏幕上的2d向量：

摄像机的位置 a摄像机方向（见下文） 视野 屏幕的高度和宽度（以及纵横比）

我也在寻找一种存储方向的方法，我已经编写了一个基本的向量库，但我不确定如何存储旋转，以便在相机（和投影代码）以及游戏中对象旋转的实际处理中使用。我目前正在考虑使用四元数，但是使用四元数而不是矩阵进行投影变换是否可能（而且容易）

在代码中实现四元数有什么好的来源吗？我必须为复数编写一个单独的库吗

谢谢您的时间和帮助：）

注意：回答太长了

我在Love2D中做过一个类似的项目，它运行得非常快，所以我不认为在Lua中自己做数学运算而不是使用OpenGL（它无论如何都不会公开）有什么问题

与评论相反，你不应该气馁。3D方向和透视背后的数学其实很简单，只要你有了感觉

对于方向而言，四元数可能有些过分。我发现要进行旋转3D投影，只需要

Vec2

、

Vec3

和

Camera

类。虽然在数学上有一些细微的差别，但在实践中，向量的向量可以生成完全合适的变换矩阵，变换矩阵可以生成完全合适的方向。矩阵是向量的向量，其优点是只需编写一个类即可处理这两个类

要投影矢量

v

，请考虑摄像机的3个参数：

• loc

  ，摄像机位置的

  Vec3

• trans

  ，一个

  Mat3by3

  （也称为

  Vec3

  的

  Vec3

  ），用于与相机方向相反
  • （免责声明：从技术上讲，使用矩阵进行相机定向是有害的，因为小的舍入误差可能会累积，但在实际使用中这是可以的）

• 缩放

  ，用于确定透视图的比例因子。

  zoom

  的

  z

  （相对于相机）相当于处于2D中；也就是说，从透视图来看，没有缩放

投影的工作原理如下：

function Camera:project(v)
    local relv -- v positioned relative to the camera, both in orientation and location
    relv = self.trans * (v - self.loc) -- here '*' is vector dot product
    if relv.z > 0 then
        -- v is in front of the camera
        local w -- perspective scaling factor
        w = self.zoom / relv.z
        local projv -- projected vector
        projv = Vec2(relv.x * w, relv.y * w)
        return projv
    else
        -- v is behind the camera
        return nil
    end
end

这假定Vec2（0，0）对应于窗口的中心，而不是角点。设置它是一个简单的翻译

trans

应以恒等矩阵开始：

Vec3（Vec3（1,0,0）、Vec3（0,1,0）、Vec3（0,0,1））

并以增量方式计算，每次进行方向更改时进行小调整

我觉得你已经知道矩阵的基本知识了，但如果你不知道，你的想法是： 矩阵是向量的向量，至少在这种情况下，可以将其视为坐标系。每个向量都可以看作是坐标系的一个轴。通过更改矩阵的元素（这些元素是向量，被认为是矩阵的列），可以更改该坐标系中坐标的含义。在正常使用中，向量的第一个分量表示向右移动，第二个分量表示向上移动，第三个分量表示向前移动。但是，使用矩阵，可以使每个组件指向任意方向。点积的定义是

函数Vec3.dot（a，b）返回a.x*b.x+a.y+b.y+a.z*b.z结束

对于矩阵

Vec3（axis1、axis2、axis3）

给定点积的定义，用向量v点缀的矩阵将产生

axis1*v.x+axis2*v.y+axis3*v.z

这意味着

v

的第一个元素表示要移动多少

axis1

s，第二个元素表示要移动多少

axis2

，第三个元素表示要移动多少

axis3

，最终结果是

v

，如果用标准坐标表示，而不是用矩阵坐标表示。当我们把一个矩阵和一个向量相乘时，我们改变了向量分量的意义。从本质上讲，它是一个陈述的数学表达式，比如“任何向右的东西现在都不向右，而向前”或任何类似的东西。在一句话中，矩阵变换空间

回到手头的任务，使用矩阵以角度

theta

表示“俯仰”（即围绕x轴）旋转，您可以编写：

function pitchrotation(theta)
    return Vec3(
        -- axis 1
        -- rotated x axis
        -- we're rotating *around* the x axis, so it stays the same
        Vec3(
            1,
            0,
            0
        ),
        -- axis 2
        -- rotated y axis
        Vec3(
            0,
            math.cos(theta),
            math.sin(theta)
        ),
        -- axis 3
        -- rotated z axis
        Vec3(
            0,
            -math.sin(theta),
            math.cos(theta)
        )
    )
end

对于“偏航”（绕y轴）：

最后是“滚动”（围绕z轴），这在飞行模拟中特别有用：

function rollrotation(theta)
    return Vec3(
        -- axis 1
        -- rotated x axis
        Vec3(
            math.cos(theta),
            math.sin(theta),
            0
        ),
        -- axis 2
        -- rotated y axis
        Vec3(
            -math.sin(theta),
            math.cos(theta),
            0
        ),
        -- axis 3
        -- rotated z axis
        -- we're rotating *around* the z axis, so it stays the same
        Vec3(
            0,
            0,
            1
        )
    )
end

如果你想象这会对你大脑中的x、y和z轴产生什么影响，那么所有这些余弦、正弦和符号翻转都可能开始有意义了。他们都在那里是有原因的

最后，我们到达拼图的最后一步，即应用这些旋转。矩阵的一个很好的特点是很容易合成它们。您可以非常轻松地变换变换-您只需变换每个轴！要将现有矩阵

A

转换为矩阵

B

：

function combinematrices(a, b)
    return Vec3(b * a.x, b * a.y, b * a.z) -- x y and z are the first second and third axes
end

这意味着，如果要对相机应用更改，只需使用此矩阵组合机制在每帧中稍微旋转方向。camera类的这些功能将提供进行更改的简单方法：

function Camera:rotateyaw(theta)
    self.trans = combinematrices(self.trans, yawrotation(-theta))
end

我们使用负θ，因为我们希望trans与相机的方向相反，用于投影。您可以创建类似的函数

function Camera:rotateyaw(theta)
    self.trans = combinematrices(self.trans, yawrotation(-theta))
end