Algorithm 近似最近对算法

我一直在考虑一种变化，其中唯一可用的信息是已经计算的距离集（我们不允许根据点的x坐标对点进行排序）

考虑4个点（A、B、C、D）和以下距离：

dist(A,B) = 0.5
dist(A,C) = 5
dist(C,D) = 2

在本例中，我不需要计算距离（B，C）或距离（A，D），因为可以保证这些距离大于当前已知的最小距离

是否有可能使用此类信息将O（n²）减少为类似O（nlogn）的值

如果我接受一种近似的解决方案，是否有可能将成本降低到接近O（nlogn）的水平？在这种情况下，我正在考虑一些基于强化学习的技术，这种技术仅在强化数为无穷大时才收敛到实际解，但对小n提供了一个很好的近似值

处理时间（用大O表示法衡量）不是唯一的问题。保留大量以前计算的距离也是一个问题

想象一下这个问题对于一个10的集合⁸ 要点

我应该寻找什么样的解决方案？这种问题以前解决过吗

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这不是课堂问题或相关问题。我一直在想这个问题

如果在一个平面上只有采样距离，而没有可以操作的原始点位置，那么我怀疑你在O（E）处有界。 具体地说，从您的描述中可以看出，任何有效的解决方案都需要检查每一条边，以排除它有什么有趣的话要说，同时，检查每一条边并取最小的边解决问题

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平面版本绕过了O（V^2），通过使用平面距离来推断边集的限制，允许我们避免查看大多数边权重。

使用与空间分区相同的想法。递归地分割给定的点集，方法是选择两个点并将该点集分成两部分，即距离第一点较近的点和距离第二点较近的点。这与通过两个选定点之间的直线分割点相同

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这就产生了（二进制）空间划分，可以使用标准的最近邻搜索算法。

我建议使用从快速求解k-最近邻搜索中衍生出来的思想

M-Tree数据结构：（参见和）旨在减少查找“最近邻居”所需的距离比较次数

就我个人而言，我在网上找不到一个我满意的M-Tree实现（参见我的封闭线程），所以我推出了自己的M-Tree

我的实施是：

基本上，这是一个二叉树，其中每个叶节点包含一个键的HashMap，这些键在您定义的某个度量空间中“接近”

我建议使用我的代码（或其背后的想法）来实现一个解决方案，您可以：

搜索每个叶节点的HashMap，并在该小子集中找到最近的一对密钥

当只考虑每个HashMap的“获胜者”时，返回最接近的密钥对

这种类型的解决方案是一种“分而治之”的方法，它返回一个近似的解决方案

您应该知道这段代码有一个可调参数，该参数控制可以放置在单个HashMap中的最大键数。减少此参数将提高搜索速度，但会增加找不到正确解决方案的可能性，因为一个键在HashMap A中，而第二个键在HashMap B中

此外，每个HashMap都关联一个“半径”。根据您希望结果的准确程度，您可能只需要使用最大的HashMap.size（）/radius搜索HashMap（因为此HashMap包含最高密度的点，因此它是一个很好的搜索候选）

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祝你好运

@PhamTrung给定

dist（A，B）=0.5；dist（A，C）=5，如果A，B和C是共线的，则最接近的B和C可能是，并且按该顺序。这导致距离（B，C）>=4.5，大于当前最短路径，因此无需计算。@PhamTrung，这取决于10^8点的分布。对于非常密集的分布点，您可能是正确的。运行时将不仅取决于点的分布，而且取决于您考虑（对）的顺序，而不幸的是，最坏情况下的运行时间将是O（n ^ 2），假设“从A到B”的距离是我们唯一允许的查询。例如，如果在（0，0）处有一个点，在（d，0）处有另一个点（其中d是接近0的某个小值），并且n-2个点均匀分布在以（0，0）为中心半径r的圆的圆周上，r足够大，使得d小于圆上任意两个点之间的距离，则。。。。。。最近邻对将是（0, 0）和（d，0）-但是没有别的东西能告诉我们要尽早考虑这对点，所以在最坏的情况下，它将被认为是最后一个。同样在这种最坏的情况下，我们需要首先考虑O（n ^ 2）其他点：圆点上的每个点与对角相反，然后在该点的两边点，最终将其与其两边的邻居进行比较。（这不是证据，甚至不是草图，但我认为它可以作为一个起点。在尺寸=点数的情况下，在最坏的情况下比较O（n^2）点对的必要性要容易得多。）对不起，@RichardPlunkett我不太理解你的断言！你对edge的确切意思是什么？它们是以前计算的距离吗？我也不理解第二个断言！他说的是解决方案O（nlogn）只适用于平面情况。一般情况下，你有O（E）输入。除非你完全读取输入（这需要O（E）