Algorithm 哪个浮点比较更准确，为什么？

我正在试验牛顿法计算平方根的不同实现。一个重要的决定是何时终止算法

显然，使用

y*y

和

x

之间的绝对差是不行的，其中

y

是

x

平方根的当前估计值，因为对于

x

的大值，可能无法以足够的精度表示其平方根

所以我应该使用相对标准。天真的我会用这样的东西：

static int sqrt_good_enough(float x, float y) {
  return fabsf(y*y - x) / x < EPS;
}

static int sqrt足够好（float x，float y）{
返回fabsf（y*y-x）/x

这似乎效果很好。但最近我开始阅读Kernighan和Plauger的《编程风格的要素》，他们在第1章中为相同的算法提供了一个Fortran程序，其终止标准（翻译为C）为：

static int sqrt_good_enough(float x, float y) {
  return fabsf(x/y - y) < EPS * y;
}

static int sqrt足够好（float x，float y）{
返回fabsf（x/y-y）

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两者在数学上是等价的，但是有没有理由选择一种形式而不是另一种形式呢？

它们仍然是不等价的；底部的一个在数学上等价于fabsf（y*y-x）/（y*y）。我看到您的问题是，如果

y*y

溢出（可能是因为

x

是

FLT\u MAX

并且

y

被不幸选择），那么终止可能永远不会发生。下面的交互使用double

>>> import math
>>> x = (2.0 - 2.0 ** -52) * 2.0 ** 1023
>>> y = x / math.sqrt(x)
>>> y * y - x
inf
>>> y == 0.5 * (y + x / y)
True

编辑：正如一条评论（现已删除）所指出的，在迭代和终止测试之间共享操作也很好

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EDIT2:两者都可能存在低于正常值的

x

问题。规范化

x

以避免两个极端的复杂性。

这两个在数学上实际上并不完全相等，除非您为第一个极端编写fabsf（y*y-x）/（y*y） 但我认为关键是要使这里的表达式与牛顿迭代中计算y的公式相匹配。例如，如果y公式为y=（y+x/y）/2，则应使用Kernighan和Plauger的样式。如果是y=（y*y+x）/（2*y），则应使用（y*y-x）/（y*y） 通常，终止标准应为abs（y（n+1）-y（n））足够小（即小于y（n+1）*EPS）。这就是为什么这两个表达式应该匹配。如果它们不完全匹配，则可能是由于不同的缩放比例，终止测试确定残差不够小，而y（n）中的差值小于浮点误差。结果将是一个无限循环，因为y（n）已停止更改，并且从未满足终止条件

例如，以下Matlab代码与第一个示例中的牛顿解算器完全相同，但它永远运行：

x = 6.800000000000002
yprev = 0
y = 2
while abs(y*y - x) > eps*abs(y*y)
    yprev = y;
    y = 0.5*(y + x/y);
end

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C/C++版本也有同样的问题。

对于一个以计算机上的数值计算为目标的beta StackExchange社区来说，这是一个很好的问题。溢出问题是我从未想到过的一个极好的问题。顺便说一下，注释（编辑1）现在移动到我的答案。