Algorithm 随机迷宫循环中概率的计算

我正在研究一只青蛙在迷宫中随机行走，在通往潜在出口的路上有各种障碍物和炸弹

挑战在于计算青蛙到达出口的概率

我的问题是我不知道如何处理循环——青蛙可以在两个或多个空间之间来回行走的情况

想象一下你有：

     BOMB    BOMB
EXIT SPACE 1 SPACE 2 BOMB
     BOMB    BOMB

对于空间1，到达出口的概率是直接走到出口的概率（1/4），或者来回走直到最终到达出口的概率（1/4^3+1/4^6+1/4^9…）。对于空间2 its（1/4^2+1/4^5…）

如果您有多个可用空间可供使用，这会变得更加混乱，例如

     BOMB    BOMB    BOMB
EXIT SPACE 1 SPACE 2 SPACE 3 BOMB
     BOMB    BOMB    BOMB

---

处理这些循环带来的复杂性的可靠算法方法是什么？

我将分两个阶段解决这个问题

第一个阶段是确定可以以任何方式退出的方块。这将让你发现并识别为“你被卡住了”任何没有可能出口的闭环

分析完成后，您可以将0分配给所有死角和炸弹，将1分配给所有出口。所有其他方块的退出概率将是一组线性方程组的唯一解，其中

p（i，j）=平均值（p（i'，j'）

在一个回合内可以移动的所有位置。这将是

nxm

变量中的一组

nxm

方程组。用你最喜欢的线性代数技术解决这个问题（我建议减少行数）

现在，对于每一个方块，你知道能够退出的确切概率。现在你的答案很简单

---

请注意，如果您只是尝试第二种方法中的线性代数部分，线性方程组的解将不会是唯一的。第一阶段将解决该问题，以确保您得到正确的解。

我将分两个阶段解决此问题

第一个阶段是确定你可以从哪些方块中以任何方式退出。这将让你发现并确定没有可能退出的任何闭合回路是“你被卡住了”

分析完成后，您可以将0分配给所有死角和炸弹，将1分配给所有出口。所有其他正方形的出口概率将是一组线性方程组的唯一解，其中

p（i，j）=平均值（p（i'，j'）

你可以在一个回合内移动所有位置。这将是

nxm

变量中的一组

nxm

方程。用你最喜欢的线性代数技术解决这个问题（我建议行缩减）

现在，对于每一个方块，你知道能够退出的确切概率。现在你的答案很简单

---

请注意，如果您只是尝试第二种方法中的线性代数部分，线性方程组的解将不会是唯一的。第一阶段会解决这个问题，以确保您得到正确的解。

建议解决一组线性方程的答案是正确的，但这里有另一种方法

想象一下，大量的青蛙都被放在起始广场上，开始在迷宫中随机移动。青蛙都在同一时间迈步。在每个时间步中，我们可以使用0.0到1.0之间的数字来表示每个广场上青蛙的比例。因此：

• 在时间0时，所有的青蛙都在起点，因此正方形的重量为1.0，其余的重量为0.0
• 在每个时间步：
  • 炸弹上的任何青蛙都会被摧毁（将重量设置为0.0）
  • 任何到达出口的青蛙都呆在那里
  • 任何其他广场上的青蛙都均匀地分布在它的邻居之间
  • 所有青蛙同时移动，因此需要同时执行这些更新

运行多个步骤后，几乎所有青蛙都将处于以下三种状态之一：

被炸弹炸毁

在出口处等候

在一个无限循环中被困在迷宫中

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棘手的部分是根据循环的可能性决定何时停止模拟。人们很容易认为，当重量变化都不超过某个小值时，我们可以停止模拟。然而，如果存在重复循环，这将永远不会发生，例如，在没有出口的2x1迷宫中，青蛙将无休止地来回跳跃权重永远不会收敛。对于这个特定任务，考虑到迷宫的大小是有限的，您可以将步数固定到某个“足够大”的值。或者，您可以首先找到所有无法退出的方块，并将其从收敛测试中排除（如另一个答案所示）.

建议解一组线性方程组的答案是正确的，但这里有另一种方法

想象一下，大量的青蛙都被放在起始广场上，开始在迷宫中随机移动。青蛙都在同一时间迈步。在每个时间步中，我们可以使用0.0到1.0之间的数字来表示每个广场上青蛙的比例。因此：

• 在时间0时，所有的青蛙都在起点，因此正方形的重量为1.0，其余的重量为0.0
• 在每个时间步：
  • 炸弹上的任何青蛙都会被摧毁（将重量设置为0.0）
  • 任何到达出口的青蛙都呆在那里
  • 任何其他广场上的青蛙都均匀地分布在它的邻居之间
  • 所有青蛙同时移动，因此需要同时执行这些更新

运行多个步骤后，几乎所有青蛙都将处于以下三种状态之一：

被炸弹炸毁

在出口处等候

在一个无限循环中被困在迷宫中

棘手的部分是根据循环的可能性决定何时停止模拟。当权重变化都不超过某个小值时，我们很容易认为可以停止模拟。但是，如果存在一些重复

+----+----+----+----+----+
|    |BOMB|BOMB|BOMB|    |
+----+----+----+----+----+
|EXIT| S1 | S2 | S3 |BOMB|
+----+----+----+----+----+
|    |BOMB|BOMB|BOMB|    |
+----+----+----+----+----+

//    DEAD, ESC,  S1,   S2,   S3
p = [
    [ 1.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00 ], // DEAD 
    [ 0.00, 1.00, 0.00, 0.00, 0.00 ], // ESCAPED
    [ 0.50, 0.25, 0.00, 0.25, 0.00 ], // S1 
    [ 0.50, 0.00, 0.25, 0.00, 0.25 ], // S2 
    [ 0.75, 0.00, 0.00, 0.25, 0.00 ]  // S3
];