Algorithm 为什么在链表中查找循环时将指针增加2，为什么不增加3,4,5？

我已经看了关于在链表中查找循环的算法。我读过解决方案，在很多地方提到，我们必须采取两个指针。一个指针（较慢/乌龟）增加一个，另一个指针（较快/兔子）增加2个。当它们相等时，我们找到循环，如果更快的指针达到null，则链表中没有循环

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现在我的问题是为什么我们把更快的指针增加2。为什么不做点别的？增加2是必要的，或者我们可以增加X来得到结果。如果我们将更快的指针增加2，是否有必要找到一个循环，或者可能需要增加3、5或x。没有理由需要使用数字2。任何步长的选择都会起作用（当然，除了一个）

看看为什么这样做，让我们来看看为什么弗洛依德的算法首先工作。想法是考虑序列x0，x1，x2，…，xn。。。如果您从列表的开头开始，然后继续向下走，直到到达末尾，您将访问的链接列表的元素。如果列表不包含循环，则所有这些值都是不同的。如果它确实包含一个循环，那么这个序列将无休止地重复

下面是使Floyd算法起作用的定理：

链表包含一个循环，当且仅当存在正整数j时，对于任何正整数k，xj=xjk

让我们去证明这一点；没那么难。对于“if”情况，如果存在这样的j，则选择k=2。对于一些正的j，xj=x2j和≠ 2j，因此该列表包含一个循环

对于另一个方向，假设列表包含从位置s开始的长度为l的循环。设j是l大于s的最小倍数。然后对于任何k，如果我们考虑Xj和XJK，因为j是循环长度的倍数，我们可以认为XJK是从列表中的位置j开始形成的元素，然后取j步K-1次。但是每一次你采取j步，你都会回到你在列表中开始的地方，因为j是循环长度的倍数。因此，xj=xjk

这个证明向您保证，如果您在每次迭代中采取任何固定数量的步骤，您确实会碰到慢指针。更准确地说，如果在每次迭代中采取k个步骤，那么最终将找到点xj和xkj，并检测循环。直观地说，人们倾向于选择k=2来最小化运行时间，因为每次迭代的步骤数最少

我们可以更正式地分析运行时，如下所示。如果列表不包含循环，则快速指针将在n个步骤后到达列表末尾，持续O（n）个时间，其中n是列表中的元素数。否则，两个指针将在慢速指针执行j步后相遇。记住，j是l大于s的最小倍数。如果是≤ l、 那么j=l；否则，如果s>l，则j最多为2s，因此j的值为O（s+l）。因为l和s不能大于列表中的元素数，这意味着j=O（n）。但是，在慢速指针执行j步之后，对于慢速指针执行的j步，快速指针将执行k步，因此它将执行O（kj）步。由于j=O（n），网络运行时最多为O（nk）。请注意，这意味着我们使用快速指针执行的步骤越多，算法完成所需的时间就越长（尽管只是成比例的）。因此，选择k=2可以最小化算法的总体运行时间

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希望这有帮助

考虑一个大小为L的循环，这意味着第k个元素处的循环是：xk->xk+1->……->xk+L-1->xk。假设一个指针以r1=1的速率运行，另一个指针以r2的速率运行。当第一个指针到达xk时，第二个指针将已经在某个元素xk+s的循环中，其中0如果链表有一个循环，那么增量为2的快速指针将比增量为3或4或更多更好，因为它确保一旦我们进入循环，指针肯定会发生碰撞，并且不会发生任何冲突超车

例如，如果我们取增量3，在循环内部，让我们假设

fast pointer --> i  
slow         --> i+1 
the next iteration
fast pointer --> i+3  
slow         --> i+2

然而，当增量为2时，这种情况永远不会发生

此外，如果您真的很不走运，那么您可能最终会遇到循环长度为

L

且快速指针的增量为

L+1

的情况。然后，您将被无限地卡住，因为移动快指针和慢指针的差值始终为

L

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我希望我能说清楚。

让我们假设不包含循环的列表的长度为

s

，循环的长度为

t

，并且

快指针速度与
慢指针速度的比率为
k

让两个指针在距离循环起点
j
的距离处相交

因此，慢速指针移动的距离=
s+j
。快速指针移动的距离=
s+j+m*t
（其中
m
是快速指针完成循环的次数）。但是，快速指针也会移动一段距离
k*（s+j）
（
k
乘以慢速指针的距离）

因此，我们得到
k*（s+j）=s+j+m*t

s+j=（m/k-1）t

因此，从上面的等式中，慢速指针移动的长度是循环长度的整数倍

为了获得最大的效率，
（m/k-1）=1
（慢速指针不应该在循环中移动超过一次。）

因此，
m=k-1=>k=m+1

由于
m
是快速指针完成循环的次数，
m>=1
。
为了获得最大的效率，
m=1

特里福