Algorithm 在2^n时间算法问题中查找n*2^n矩阵中缺少的行

我遇到了一个算法问题，起初看起来很简单，但我很困惑，不知道该怎么办！问题如下:

假设我们有一个数字n，然后我们有一个由n列和2*n行组成的矩阵。它类似于功率集（例如，对于n=2，我们有10,11,00,01）。行不一定遵循任何顺序。我们还可以在O（1）时间内访问每个矩阵成员。现在，我们有（2^n）-1行，我们希望在尽可能短的时间内找到最后一行（注意，有n*（2^n-1）个成员，我们只有O（2^n）个时间）。我们怎样才能做到这一点？（我们有O（n）内存。虽然我不确定它是否足够。如果你知道一个使用任意内存量的答案，那就好了）

输入示例：

3
101
110
100
000
111
011
010

输出示例：

001

我试图通过流行的缺失位问题（通过对矩阵成员进行异或运算）对其进行建模，但进展不大

另外，在C/C++/Java/Python上实现该算法将非常有价值，因为它可以澄清问题

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附言：你也能举出一些来源吗？或者告诉我你是如何得出答案的，以及你是如何看待这些问题的？

约束条件有点模糊，但你可能在寻找类似的东西：

• 检查所有2^n行中的第一项，以确定缺少行中的第一项。1或零将开始2^（n-1）行，另一个选项将开始2^（n-1）-1行——计数较低的项将开始缺少的行
• 检查2^（n-1）-1行中以与缺失行相同的项目开头的第二个项目，以查找缺失行中的第二个项目
• 继续查找丢失行中的所有n项

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如果将读取的元素数相加，则得到2^n+2^（n-1）+2^（n-2）。。。小于2^（n+1），因此在O（2^n）

中有

2

情况：

退化情况：

N==1

，这很明显<代码>0->1和

1->0

；比如说，你可以把它放在

~item

一般情况

N>1

。您所要做的就是对所有值进行异或操作：

101^110^100^000^111^011^010==001

该算法具有

O（N*2**N）

时间复杂度（我们必须读取矩阵的每个单元），并且需要

O（N）

空间（在xoring时存储时间和）

C#实现（Linq）：

让我们来证明算法的正确性（

N>1

）

由于

N>1

因此

2**N>=4

那么

2**（N-1）

是一些偶数。让我们看看power系列中所有

2**N

项的任意位

 000...0...0
 000...0...1
  ...
 111.......0
 111...1...1
       ^
     - N/2 '0's (even) and N/2 '1' (even), xor == 0

我们发现正好有

N/2

0和

N/2

1<所有这些位的strong>xor总是

0

（因为

N/2==2**（N-1）

是一些偶数值）。 如果遗漏一行，例如，

0…1…1

我们有

2

的可能性：

丢失的位为

1

。所以我们有

N/2

0和

N/2-1

1<所有位的strong>xor返回

1

丢失的位为

0

。所以我们有

N/2-1

0和

N/2-1

1<所有位的strong>xor返回

1

---

因为

^

是按位操作（第位

j

的值不取决于第位

i

的值）我们证明了任意位是正确的，整个值也是正确的。

输入和输出的示例更好。示例I/O ADDEX或所有值：

101^110^100^000^111^011^010==001

谢谢您的回答，但是对于第二行，我们如何标记前面的2^（n-1）行？这样我们就可以返回到第二行和第三行，依此类推？最简单的方法是保留一个相关行的列表，在每个步骤中过滤掉不相关的行。这需要O（2^n）空间。或者，如果矩阵表示法允许您在固定时间内执行此操作，则可以将相关行交换到顶部。这需要恒定的额外空间。xoring所有值与O（n*2^n）时间有关，因为矩阵中有多少个单元格。

 000...0...0
 000...0...1
  ...
 111.......0
 111...1...1
       ^
     - N/2 '0's (even) and N/2 '1' (even), xor == 0