Algorithm 求给定条件集的最小子集数的算法

对于给定的一组数

{12,13,15,21,22,26,6,14,27,28,29,30,39,40,4,17,25}

，我想找到满足这两个条件的最小子集数

每个集合中的元素数是一个常数，即上述值 示例是

5

在子集中，两个元素中的任何一个满足以下条件：

（num1-num2）%d！=0

num1>num2

其中d是常数差 在两个数字之间

对于上面的示例：如果

d=4

且子集中的元素数为

5

，则其中一个子集将为：

{12,13,15,22,17}

---

我正在寻找一种算法，以找到满足条件的最小子集数。

好的，所以这不是真正的100%编程。这是一个标准的离散数学练习

让我们分步骤进行：

所有可能子集的组合数量：n其中n是第一组元素的数量。我在这里假设我们不允许在子集中重复选定的元素。子集中元素的顺序无关紧要（否则我们需要使用组合而不是排列）

现在我们只选择r元素，而不是所有n元素，所以现在是n/（右）其中r是子集中的元素数量

最难的部分完成了。现在我们需要添加一个条件，对于该条件，您只能使用前面的n/（右）并减去“坏”元素对的数量。基本上，排除任何以禁止值开始的排列。让我们找到所有禁止的值：

两个简单的嵌套循环，检查（num1-num2）%d！=每对0，大约需要n*（n-1）/2次迭代。或者只进行n^2次迭代，而不动态更改嵌套循环中的迭代器

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你可以贪婪地解决这个问题

将集合划分为S[i]，其中初始S[i]={S在S中，这样S%d==i}

然后，重复选取k（在您的示例中为5）最大的子集S[i]，并从每个子集中移除一个元素

下面是一些实现此功能的效率稍低但简单的代码：

def part(S, k, d):
    "Split S into subsets of size<=d, each with elements unique mod k"
    parts = [[] for _ in xrange(k)]
    for s in S:
        parts[s % k].append(s)
    while sum(len(p) for p in parts):
        parts.sort(key=len, reverse=True)
        yield [x.pop() for x in parts[:d] if x]

S = [12,13,15,21,22,26,6,14,27,28,29,30,39,40,4,17,25]
for s in part(S, 6, 5):
    print sorted(s)

通过优先级队列和运行计数器，可以优化

部分
和while循环条件，但这会掩盖正在发生的事情。优化后的表单将在O（n logn）时间内运行；如前所述，它是O（n^2 log n）

[我应该说，我非常确定这个解决方案是正确的，但我不太明白如何证明它。我想看看证明（或反例来证明它是错误的）。]
我会这样做：

def run(self, n,m):
        if len(n)<=1:
        return [n]             
        x = n[0:1]  //get 1st part
        y = n[1:]   //get remaining
        t = self.run(y,m)
        r=[]
        if t:
            r+=[x]  //add current element
            r+=[i for i in t if count(i)<=m]    // add fixed combinations
            r+=[ i+x for i in t if valid(i+x)]  // all combined combinations
        return r
def valid(combination):
    //code to check your condition
    (num1-num2)% d != 0

def运行（自身，n，m）：
如果len（n）那么，你可以对它进行暴力：）很可能，你将别无选择，只能对它进行暴力，因为这比“背包”式的问题稍微复杂一些。这些条件不一定只适用于一个元素，因此在不知道特定子集的其他元素的情况下，无法筛选出子集的潜在成员，因此在测试条件之前必须选择子集（尽管%d！=0与常量差相矛盾）。由于需要找到最小数量的子集，而不是找到任何匹配的子集，这将是一个计算量非常大的问题。你说
d
是两个数字之间的常数差，那么set
{12,13,15,22,17}
如何满足这一点呢？这个例子看起来是错误的：13=17（mod 4）
def run(self, n,m):
        if len(n)<=1:
        return [n]             
        x = n[0:1]  //get 1st part
        y = n[1:]   //get remaining
        t = self.run(y,m)
        r=[]
        if t:
            r+=[x]  //add current element
            r+=[i for i in t if count(i)<=m]    // add fixed combinations
            r+=[ i+x for i in t if valid(i+x)]  // all combined combinations
        return r
def valid(combination):
    //code to check your condition
    (num1-num2)% d != 0