Algorithm 什么是Θ；根n^3函数和的复杂性？

函数的复杂性（Θ版本）是什么

n
∑ = 3*i3/2
i=1

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我认为它只是Θ（n2），因为n2的增长速度比常数或平方根快，至少在我的头脑中这是直观的。有没有一种形式来证明这一点？

让我们考虑一个简单的例子：<代码>求和[ i＝1…n]（i ^（3/2））< /代码> < /p>

让我们考虑下面的积分<代码>积分[i=（k0.5）…（k+1）]（i ^（3/2））< /代码>，其中k是正整数。< /P>

  Integrate[i=(k-0.5)..(k+0.5)](i^(3/2))
= 2/5 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2))

可以证明，对于所有正整数k：

k^(3/2) < 2/5 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2))

k^(3/2) > 0.3 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2))

我们可以从中得出：

Sum[i=1..n](i^(3/2)) < Integrate[i=(0.5)..(n+0.5)](i^(3/2))

因此：

可以证明，对于所有正整数k：

k^(3/2) < 2/5 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2))

k^(3/2) > 0.3 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2))

可以按照前面部分所示的类似方式进行验证。或者你可以通过显示单调性，并在k=1，域中允许的最小数下进行测试

由此，我们可以得出：

Sum[i=1..n](i^(3/2)) > 0.75 * Integrate[i=(0.5)..(n+0.5)](i^(3/2))

对于所有正整数n

我们知道：

  Integrate[i=(0.5)..(n+0.5)](i^(3/2))
= 2/5 * ((n+0.5)^(5/2) - 0.5^(5/2))

  Integrate[i=(0.5)..(n+0.5)](i^(3/2))
= 0.3 * ((n+0.5)^(5/2) - 0.5^(5/2))

因此：

因此，

Sum[i=1..n]（i^（3/2））=Theta（n^（5/2））

注意：如果此帖子被迁移，如果证明有问题，请删除此帖子

  Integrate[i=(0.5)..(n+0.5)](i^(3/2))
= 0.3 * ((n+0.5)^(5/2) - 0.5^(5/2))

Sum[i=1..n](i^(3/2)) > 0.3 * ((n+0.5)^(5/2) - 0.5^(5/2))
Sum[i=1..n](i^(3/2)) = Omega(n^(5/2))