Algorithm 我必须找到第n个数字，它包含数字k或者可以被k整除。（2<；=k<；=9）

示例–如果n=15&k=3，回答：33（3、6、9、12、13、15、18、21、23、24、27、30、31、32、33）

我开始按照顺序来做，但无法表达

对于3->3+3+3+4+3+3+4+3+4+3+3+4+3+3+4的倍数

用于包含数字3->

{

范围在diff=100->1+1+1+10+1+1+1+1+1+1=f（n）说

差异范围=1000-> f（n）+f（n）+f（n）+10*f（n）+f（n）+f（n）+f（n）+f（n）+f（n）+f（n）+f（n）=ff（n）说

差异范围=10000-> ff（n）+ff（n）+ff（n）+10*ff（n）+ff（n）+ff（n）+ff（n）+ff（n）+ff（n）+ff（n）+ff（n）+ff（n）+ff（n）

这一点更进一步

}

我必须用比O（n）或O（1）更好的答案，如果可能的话，请不要建议像检查for循环中的每个数字这样的方法。谢谢

---

编辑-我到处都搜索过，但在任何地方都找不到答案，因此，它不是重复的。

这里有一种方法可以让你思考它，它至少可以指向一个方向（或者，一个白鹅追逐）。将两个问题分开并删除重叠的结果：

（1） 有多少个j位数可以被k整除<代码>[j 9/k]-[（j-1）9/k]

（2） 有多少个

j位

数字包括数字

k

<代码>9*10^（k-1）-8 x 9^（k-1）

现在我们需要减去既可被

k

整除的

j位

数字，并包括数字

k

。但是有多少呢

使用可分性规则来考虑不同的情况。例如：

k = 2
If k is the rightmost digit, any combination of the previous j-1 digits would work.
Otherwise, only combinations with 0,4,6 or 8 as the rightmost digit would work.

k = 5
If k is the rightmost digit, any combination of the previous j-1 digits would work.
Otherwise, only combinations with 0 or 5 as the rightmost digit would work.

etc.

（补遗：我问了关于math.stackexchange的组合问题，得到了一些有趣的答案。这里有一个指向OP关于math.stackexchange的问题的链接：）

接下来，如果你有一个O（1）方法来计算

d（j，k）

=至少有一位k到j的数字，丢弃可被k整除的数字，然后您可以计算

e（j，k）

=至少在数字k上或在j下可被k整除的数字，如

j/k+d（j，k）

---

这允许您使用二进制搜索查找

f（n，k）

，因为

k这比我想象的要复杂，但我想我找到了最简单情况（k=2）的解决方案

首先，我试图通过问以下问题来简化：序列中的哪个位置有数字
10^I*k
，其中
I=1,2,3，…
？对于k=2，数字是20，200，2000

i k                                                                  n
1 2    20/2                                                        = 10
2 2   200/2 + 2*  5                                                = 110
3 2  2000/2 + 2* 50        + 18* 5                                 = 1190
4 2 20000/2 + 2*500        + 18*50         + 162*5                 = 12710
i 2    10^i + 2*10^(i-1)/2 + 18*10^(i-2)/2 + 162*10^(i-3)/2 + ?*10^(i-4)/2 + ...

在最后一行中，我试图表达这种模式。第一部分是可除以2的数字。然后是奇数的i-1附加部分，第一个位置为2，第二个位置为2，依此类推。困难的部分是计算系数（2，18，162，…）

这里有一个函数，返回任意i的新因子：

f(i) = 2 * 10^(i-2) - sum(10^(i-x-1)*f(x), x from 2 to i-1) = 2 * 9^(i-2) [thx @m69]
f(2) = 2
f(3) = 2*10 - (1*2) = 18
f(4) = 2*100 - (10*2 + 1*18) = 162
f(5) = 2*1000 - (100*2 + 10*18 + 1*162) = 1458

因此，利用这些信息，我们可以得出以下算法：

找到不超过该位置的最大数字
10^i*2
。（如果
n
在
[positionOf（10^i*2），positionOf（10^i*2）+（10^i）]
范围内，那么我们已经知道解决方案：
10^i*2+（n-positionOf（10^i*2））
。例如，如果我们发现i=2，我们知道接下来的100个值都在序列中：[201300]，因此如果110 n）
打破
nn+=tmp；
s+=10^ii*2；
}
}
}
返回s；

---

这是唯一未经测试的未完成伪代码（我知道您不能在Java中使用

^

），ii=1或0需要作为特例处理，此缺失以及如何查找

I

也没有显示，否则答案将变得太长

这可以使用二进制搜索+数字dp解决。。。。。 时间复杂度为o（logn*）

---

有关解决方案，请参见代码：

在此处输入代码

我可以想象O（logn），但对于O（1），您基本上需要找到一个公式f（n，k）=解决方案或不解决方案？建议我O（logn）。。谢谢。@maraca肯定对解决这个问题非常感兴趣，不仅仅是简单的循环。不管怎么说，数字的数量都必须是log_10（n），因为每10个数字中至少有1个是k，但如果小于log_10（n）-1个数字，你根本就没有n个数字。事实上，它是ceil（log_10（n））或ceil（log_10（n））+1。现在去读吉拉德的答案：）这个答案看起来不错。为了计算出重叠的结果，可以使用基于DP[x][y]=包含特殊数字的x位数（其值等于特殊数字的y模）以及DP2[x][y]的动态规划=不包含值等于y mod special digit的特殊数字的x位数。@PeterDrivaz感谢您的评论。我必须考虑一下你建议的DB定义，看看我是否理解。你们能提供一个有效的实现吗？我看不出一种方法可以轻易地得到第n个数字。谢谢。@rishavbansal一种方法可能是：一旦你确定了第n个

n

数字的位数，修复最左边的数字，然后向右移动——比如，如果最左边的数字是

1

，使用组合学和可分性规则计算了多少特殊数字？如果是

2

？等等。当你找到合适的最左边的数字时，转到它右边的下一个数字，依此类推。@rishavbansal这里也看到了，为什么3和9的组合/整除选项不是很重要呢？我不知道如何使用7：）那么，有多少数字6可以被3整除，比如说5000？一件事是存在一个整除性规则（也有一个用于7），另一件事是使用该规则在不循环j次的情况下得到d（j，k）。给你：2，18，162，1458…=2*（9^0，9^1，9^2，9^3…）良好的观察+1。现在我把答案保持原样，因为它显示了我是如何得出这些数字的，也许它可以以某种方式推广到任何k。我已经从这个链接上我的问题的答案中推导出了一个解决方案，似乎效果很好。

int nn = positionOf(10^i * 2);
int s = 10^i * 2;
for (int ii = i; ii >= 0; ii--) {
  for (int j = 1; j < 10; j++) {
    if (j == 1 || j == 6) {
      if (n <= nn + 10^ii)
        return s + nn - n;
      nn += 10^ii;
      s += 10^ii;
      int tmp = positionOf(10^ii);
      if (nn +  tmp > n)
        break;
      nn += tmp;
      s += 10^ii;
    } else {
      int tmp = positionOf(10^ii * 2);
      if (nn + tmp > n)
        break;
      nn += tmp;
      s += 10^ii * 2;
    }
  }
}
return s;