Algorithm 如何使此DP在O（NH）中运行？

我有一个有趣的问题让我困惑了一会儿。这是《算法导论》一书中关于动态规划的一个练习

你工作的电话公司最近接管了一个新城市的电话服务。您已被指定专门负责Main street上的电话线杆。从位置1到N有N根电线杆，电线杆i的高度为H[i]英尺，是[1，maxH]范围内的整数。市政府要求您使所有电线杆的高度相同。对于每个i，如果第i极具有高度h和（i−1） -th杆的高度为h'，则必须缴纳C|h的税款−h′|。为了帮助实现这一目标，您可以将任何电杆的高度增加或减少到h高度，费用为（h[i]−h） ^2。你的任务是决定如何增加或减少每根杆子的高度，以便你的公司花费最少的钱。特别是，你必须平衡改变电杆高度的成本和你的公司必须支付的税款

（提示）您至少应该能够在O（NH^2）中完成，但实际上您所能做的最好的是O（HN）

到目前为止，我得到了O（NH^2）。我的想法是我们将初始化一个大小为HxN的矩阵M，每个条目M[h，i]代表第一个i极的最小成本，i极高度为h。我的目标是填写整个矩阵并检查最后一列，即确定对我们的问题来说，全球最低成本的最后一个极点

def DP_pole(H,hmax,C,N):
    initialize empty matrix M[H,N]
    for i from 1 to hmax: #first pole,no tax, only construction fee
        M[i,1] = (H[1] - i)**2
    for n from 2 to n: #column first
        for h from 1 to hmax: #row second
            construction = (H[n]-h)**2 # you pay this construction always
            minimum = min(M[1,n-1]+C|h-1|,......,M[hmax,n-1]+C|h-hmax|)
            M[h,n] = construction + minimum
    
    #------find minimum------#
    
    min = float("-inf")
    for h from 1 to hmax:
        if M[h,N] < min:
            min = M[h,N]
    return min

def DP_极（H、hmax、C、N）：
初始化空矩阵M[H，N]
对于从1到hmax的i:#第一杆，无税，仅建筑费
M[i，1]=（H[1]-i）**2
对于从2到n的n：#列第一
对于从1到hmax的h:#第二行
构造=（H[n]-H）**2#您始终支付此构造
最小值=min（M[1，n-1]+C | h-1 |，…，M[hmax，n-1]+C | h-hmax |）
M[h，n]=结构+最小值
#------求最小值------#
最小值=浮动（“-inf”）
对于从1到hmax的h：
如果M[h，N]

但到目前为止，我得到的算法不能简化为O（HN），我想（也许？）。因为我使用的递归关系是一个“线性”关系，为了确定矩阵H的每个条目，我将搜索前面的整个列，它取O（H）。矩阵中总共有H*N个条目需要填写

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任何提示或帮助都将不胜感激。我需要想出一个不同的、更聪明的递归关系吗？

您有正确的动态规划方法，但是对每个

h

执行这个O（hmax）操作太昂贵了：

minimum = min(M[1,n-1]+C|h-1|,......,M[hmax,n-1]+C|h-hmax|)

通过一点预处理，您可以在固定时间内为每个

h

计算该值

首先，考虑一个新的杆的税额。让我们：

downmin[h] = min(M[1,n-1]+C(h-1),......,M[h,n-1])

您可以用O（hmax）计算这个数组，从0向上计算到

hmax

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完成这些计算后，对于每个

h

，

minimum=min（upmin[h]，downmin[h]）

，您当然可以在固定时间内进行计算。

建造费是我们必须支付的费用，以使第i杆达到设计高度h。我们必须平衡税收和前（i-1）极，以获得最低限度的税收。我正在考虑如何跳出上一篇专栏文章的线性搜索。它最终不会给我O（HN）。根据答案猜测，我们应该能够在O（1）中完成每个条目，最终能够得到一个O（HN）。这里有一个想法-在

dp[n][h]

和

dp[n][h+1]

之间，进行了大量重复计算。请注意，当您取最小值时，低于

h

的所有值仅增加1，高于

h

的所有值减少1。@Primusa Hi。我理解，每次更改h时，术语C | h-h'增加/减少C*1。但是为了计算dp[n，h]，我仍然需要比较dp[n-1,1]和dp[n-1，hmax]。所以我在做“专栏式”。你建议“按行”吗？我不太明白。H是一个数组，不是一个数字，所以O（NH）没有意义。@MattTimmermans哦，对不起，我的意思是H_max，一个极点的最大高度。

if (h == hmax)
    upmin[h] = M[h,n-1]
else
    upmin[h] = min( M[h,n-1], upmin[h+1]+C )

downmin[h] = min(M[1,n-1]+C(h-1),......,M[h,n-1])