Algorithm 集S到k个划分的公平划分

有一个集合S包含N个整数，每个整数的值为1一个启发式方法是将较大的权重尽可能均匀地分布在行李之间，留下足够小的权重，这样您现在就剩下一个具有大量自由度的子问题。如有必要，重复子问题。此启发式假设您的分布不是太几何，例如，

{1000}和{100,10,1}

，并稍微假设您的惩罚函数将惩罚零赋值或非常大的异常值

例如：

distributeFairly(numbers, bins):
    distributeFairlySubproblem(numbers, bins):
        n = len(numbers)
        numElementsToDefer = min(-n//3,20*k)  # modify as appropriate, e.g. to avoid len(toPlace)<len(toDefer)

        toDefer = numbers[-numElementsToDefer:]
        toPlace = numbers[:-numElementsToDefer]

        newBins = shoveThemIn(toPlace, copy(bins))
        return distributeFairlySubproblem(toDefer, newBins)

    initialGuess = distributeFairlySubproblem(sorted(numbers,reverse=True), [[]]*k)
    return anneal(initialGuess)

distributeFairly（数字、箱子）：
distributeFairlySubproblem（编号、箱子）：
n=len（数字）
numElementsToDefer=min（-n//3,20*k）#根据需要进行修改，例如，为了避免len（toPlace）我认为一个好的指标是：

let the result set be s1,s2,...,sk
let MAX be max{sum(si) for each i}
f({s1,...,sk}) = Sigma(MAX-sum(si)) for each i)

好处：一个完美的分布将永远产生0！

缺点：如果没有perperct解决方案，那么最佳结果不会产生0

该问题的贪婪启发式算法为：

sorted<-sort(S) (let's say sorted[0] is the highest)
s1=s2=...=sk= {}
for each x in sorted:
   s <- find_min() (*)
   s.add(x)

sorted让度量最小化max（sum（si）-sum（sj）），其中si和sj是集合S的结果分区中的任意两个子集

假设我们有一个分布D，我们需要在分布D中包含另一个元素x。将它添加到子集s中，以使上述度量最小化

无法证明任何界限，但直觉告诉我们，它能很好地逼近最优值？有谁擅长证明边界吗？
请记录在案，
N完全相同的问题，这里有一个非常好的答案。几乎是一样的。我找到了答案，我已经贴出来了。@Corey-他们的回答是两个问题之间的一个巨大差异。在我的问题中，重排是允许的，而在所提到的问题中，数字不应该被重排rearranged@stOle-您的解决方案需要更多解释，因为这两个问题是如何相同的。您能将一个问题简化为另一个问题吗？我们还需要提供一个好的比较函数来比较两个分区。请详细说明您的heuristic@amit：简洁的解决方案和非常好的努力。我把另一个贪婪的方法作为下面的答案。我试了几次，但没能证明有任何约束力。你能试一试吗？@amit:为了完整性/清晰性，你能在回答中定义“x”和“y”轴吗？@Akhil:它有标签：对于两个直方图，x轴都是度量值（对于每个图形，不同的度量值），而y轴是frequency@amit：图形？？度量应该是连续的（作为目标值）。另外，频率代表什么（什么的频率？）@Akhil这是一个直方图，我产生了150个随机样本，并在每个样本上运行了这两种算法。然后，我为每个指标生成了20个箱子的柱状图，以尝试显示哪个更好。这是比较两种启发式算法的标准…请注意，这个度量将是O（n^2），因此算法将是O（n^3）。我认为，对于这个度量，我的答案中的相同断言应该适用，并且有类似的证明，因此界限将是f（sol）@amit:k（分区数）将是一个小数字（从2到10）。因此，复杂性变为（n*k^2）。对于我试图解决的问题，n的最大值是（klogN）^2，在这里我有一些空闲时间，因此我为两种算法和两种启发式编写了Python代码，将很快编辑我的答案并给出结果。看一看，我编辑了我的答案：根据其他算法的度量，每种算法的得分都较高，这是令人惊讶的-因为你建议的算法在它试图最小化的相同度量中得分更低。
base: the set of subsets at start is {},{},.. MAX=sum(si)=0 for each si. 
step: assume the assumption is true for iteration i, we'll show it is also true for iteration i+1:
let s be the set that x was added to, then MAX-sum(s) <= max{S} (induction assumption).
if sum(s) + x <= MAX: we are done, MAX was not changed.
else: we sorted the elements at start, so x <= max{S}, and thus if s was chosen
   (sum(si) >= sum(s) for each si) and sum(s) + x > MAX then: for each si, sum(si) + x >=
   sum(s) + x, so sum(s)+x - sum(si) <= x <= max{S}. since sum(s)+x will be the MAX next 
   iteration, we are done.