Algorithm 用于将矢量与“合并”的快速数据结构；don'；“你不在乎吗？”；

我有一个相当大的具有整数坐标的nD维向量集合（d约为50），除了在某些情况下坐标是一个特殊的哨兵“不在乎”值，我将用*表示。我试图找到一种有效的算法来合并所有相互比较相等的向量，其中“相等”表示“向量中的每对坐标匹配，假设*项可以匹配任何东西。”例如，给定这些行向量：

[* 1 2 * *]
[1 1 * 2 *]
[2 1 3 * 1]
[2 * 3 * *]
[1 * 3 4 *]

我们将它们分为以下几类：

[* 1 2 * *], [1 1 * 2 *]
[2 1 3 * *], [2 * 3 * *]
[1 * 3 4 *]

要求是所有集群中的所有向量都必须成对相等。可能有很多方法可以将符合这些标准的事物聚集在一起，因此对于“不太多”的松散定义，应该有“不太多”的聚集

当然，可以通过两两比较所有向量并配对匹配的向量，然后重复这个过程，直到所有向量都聚集在一起。另一个选项（我们目前使用的）是从它自己的集群中的第一个向量开始，然后为每个向量检查它是否匹配任何现有集群，或者是否需要进入它自己的集群。这些方法要么是二次的，要么是与向量数乘以集群数的乘积成正比的，这对于我们的应用程序来说不够快

---

有没有有效的算法来解决这个特殊的问题？

所以看起来这个问题是NP-难的-而且不仅是NP-难的，它是NP-难的问题之一，很可能很难得到一个近似的答案

为了说明这一点，这里有一个从色数问题（给定一个图，给它上色所需的最小颜色数是多少？）到这个问题的快速简化。我将用一个例子来说明。假设我们有这个图表：

   A -- B -- C
   |    |    |
   D -- E -- F

我将从这个图开始，用“不关心”形成一组向量，这样每个集群对应于一组节点，它们之间没有边（一个独立的集合）。总的来说，每个簇将代表一组可以赋予相同颜色的节点，因此找到最小簇对应于找到图的色数

由于图中有六个节点，每个向量将有六个分量。我们将在图中每个节点形成一个向量。例如，节点A的向量将为

[ 0 1 * 1 * * ]

向量的列依次表示节点A、B、C、D、E和F。A列中的0表示“这是A的向量”。B和D列中的1表示“从该节点到节点B和D有边”。其他列中的*”表示“该节点和其他节点之间没有任何边。”如果我们形成图中所有节点的向量集，我们将得到：

     A B C D E F
A: [ 0 1 * 1 * * ]
B: [ 1 0 1 * 1 * ]
C: [ * 1 0 * * 1 ]
D: [ 1 * * 0 1 * ]
E: [ * 1 * 1 0 1 ]
F: [ * * 1 * 1 0 ]

现在，想象一下试图将这些向量聚类。请注意，如果选取任意两个相邻节点（例如，B和E），它们的向量不匹配，因为B向量在B列中有一个0，而E向量在B列中有一个1。但是，如果您选择任何不相邻的节点，则它们将匹配，因为

• 节点本身的列在一个向量中有0，在另一个向量中有*，因为每个向量都标记了它是哪个节点，并且它们之间没有边，并且
• 每个向量中的每一列都是1或*

总的来说，这意味着向量的集群对应于节点的集合，这些节点之间没有边，因此找到一个最小的集群可以为图着色。在这种情况下，请注意，通过使A、C和E为相同颜色，B、D和F为另一种颜色，原始图形可以是2色的。如果我们看一下向量，它们可以聚集成A、C、E和B、D和F：

     A B C D E F
A: [ 0 1 * 1 * * ]
C: [ * 1 0 * * 1 ]
E: [ * 1 * 1 0 1 ]

B: [ 1 0 1 * 1 * ]
D: [ 1 * * 0 1 * ]
F: [ * * 1 * 1 0 ]

更一般地，给定一个具有n个节点的图，这种形式的n个向量（其中每个向量对应于一个节点）在该节点的列中有一个0，在每个相邻节点的列中有一个1，在所有其他列中有一个*。簇的最小数目对应于原始图的色数，这种减少可以在多项式时间内完成

问题是，求图的最小色数的问题是NP难的，并且没有已知的近似算法能够接近常数因子近似。因此，除非P=NP，否则对于我描述的原始问题可能没有好的近似算法

---

我需要解决的问题的特殊情况可能更容易近似，因此我可能会发布一个后续问题，其中包含我试图做的事情的更多细节。

您有关于整数坐标范围的一些信息吗？还有什么是“相当大的”？向量的数量是几十万，整数坐标的范围大概是几万到几十万。有一点我不清楚：V1可以匹配V2，V2可以匹配V3，但V1可能不匹配V3。那么，这里是否有一些选择，例如最小化向量组（每个向量只属于一个组）？或者你想在这个例子中有两个组（V1，V2）和（V2，V3）？好问题！每一个向量都必须只属于一个组，所以我们的目标是尽量减少组的数量，或者只是“随它来”吗？