Algorithm 具有最小冲突边数的循环图的拓扑排序

我正在寻找一种对给定的有向无权图执行拓扑排序的方法，该图包含循环。结果不仅应包含顶点的顺序，还应包含给定顺序所违反的边集。这组边缘应最小

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由于我的输入图可能很大，我不能使用指数时间算法。如果不可能在多项式时间内计算出最优解，那么对于给定的问题，什么样的启发式方法才是合理的呢？

Eades、Lin和Smyth提出。原始文章在付费墙后面，但可以从以下网站获得免费副本

有一种拓扑排序算法，它通过选择一个没有引入弧的顶点，在图上递归减去顶点，并将该顶点预先添加到顺序来建立顶点顺序。（我以递归方式描述算法，但您不必以这种方式实现它。）Eades–Lin–Smyth算法也会查找没有传出弧的顶点并附加它们。当然，所有顶点都可能有传入和传出弧。在这种情况下，选择传入和传出差异最大的顶点。毫无疑问，这里有实验的空间

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具有可证明最坏情况行为的算法基于线性规划和图割。这些都很好，但保证不太理想（需要的弧数是log^2 n或log n的n倍），我怀疑高效的实现将是一个相当大的项目。

受Arnauds answer和其他有趣的拓扑排序算法的启发，我创建了项目，并将其发布在github上。循环拓扑排序完全符合您的要求，因为它可以快速对有向循环图进行排序，从而提供最小数量的冲突边。如果需要，它还可以选择提供相同拓扑级别上的最大节点分组（因此可以同时激活）

如果这个问题仍然与你有关，那么如果你检查我的项目并让我知道你的想法，我会很高兴的

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这个项目对我自己的神经网络拓扑研究很有用，所以我不得不创建类似的东西。我这么晚才回答你的问题，以防其他人在寻找同一个问题时偶然发现这条线索。

这不是吗？你可以通过对剩余的DAG进行拓扑排序来获得顺序。另外，你想要一个最小解（每个删除的弧都会在DAG中完成一个循环）还是一个最小解（删除的弧尽可能少）？@Davidisenstat实际上我不太在乎它是多还是少，我只需要分别处理它们。如果某些算法需要两倍的运行时间，并且只找到一个弧数较少的解决方案，那么它就不经济了。这个问题似乎是反馈弧集，但在这种情况下，这是NP难的，所以我们需要一个近似值。这个问题仍然时不时地收到一堆意见，我只是在手头的论文中遇到它，所以如果有人对大卫在最后一段中提到的近似算法感兴趣，他可能会提到“通过扩展度量的分而治之近似算法”，作者：偶数，Naor，Rao，Schieber，《ACM杂志》，第47卷，第4期，2000年7月，第585-616页，该算法甚至对加权有向图进行对数n近似。未加权最小反馈弧集问题的早期对数^2 n近似基于线性规划的（我们最小化要删除的边的数量）可在“多商品最大流最小割定理及其在设计近似算法中的使用”中找到，Leighton，Rao，《ACM杂志》，第46卷，第6期，1999年11月，第787–832页。