Algorithm 给定二维点列表，查找距离所有其他点最近的点

找到最接近所有其他点的点的有效算法是什么

我只能想到一个暴力O（n^2）解决方案：

Input: list of 2d points (x,y) where x and y are integers.

Distance: distance is defined as the Manhattan distance. 
    ie:
    def dist(p1,p2) 
         return abs(p1.x-p2.x) + abs(p1.y - p2.y)

---

基本上看每一对点。

你要找的是

你基本上把所有的x'和y'加在一起，然后除以整个系统的质量。 现在，你有了均匀的质量更小的粒子，让它们的质量为1

然后你要做的就是求和粒子的位置，除以粒子的数量

假设我们有p1（1,2）p2（1,1）p3（1,0）

因此p2是最接近的

---

在O（n）

中求解从初始算法开始，有一种可能的优化：

// we sum the x's 

    bestXcord = (1+1+1)/3 = 1

//we sum the y's 

    bestYcord = (2+1)/3 = 1 

我们的想法是，尽可能快地剔除异常值。这可以进一步改进：

• 以一个启发式的“内部”点开始p1循环（这会首先创建一个好的

  思维者，所以更坏的点会更快地被丢弃）

• 使用启发式“外部”点启动p2循环（这会使距离快速上升，可能会更快地触发退出条件

如果你以尺寸换取速度，你可以走另一条路线：

minDist=inf
bestPoint = null
for p1 in points:
    dist = 0
    for p2 in points:
        dist+=distance(p1,p2)
        //This will weed out bad points rather fast
        if dist>=minDist then continue(p1)
    /*
    //Unnecessary because of new line above
    minDist = min(dist,minDist)
    bestPoint = argmin(p1, bestPoint)
    */
    bestPoint = p1

//假设点编号为0..n
dist[]=int[n+1]；//初始化为0
对于（i=0；i注意，在1-D中，使到所有点的距离之和最小的点是中值

在二维中，问题可以在
O（n log n）
中解决，如下所示：

创建一个x坐标排序数组，并为数组中的每个元素计算选择该坐标的“水平”成本。元素的水平成本是到投影到x轴上的所有点的距离之和。这可以通过扫描数组两次以线性时间计算（一次从左向右，一次反向）。同样地，创建y坐标的排序数组，并为数组中的每个元素计算选择该坐标的“垂直”成本

现在，对于原始数组中的每个点，我们可以通过添加水平和垂直成本来计算
O（1）
时间中所有其他点的总成本。因此，我们可以计算
O（n）
中的最佳点。因此，总运行时间是
O（n log n）
这不是欧几里德距离，需要对每个点进行平方（p1.x-p2.x）和（p1.y-p2.y），求和的平方根。方法
dist（）
是曼哈顿距离。哎呀，我不是指欧几里德距离。我会编辑它。不完全是。质心不一定是集合中的一个点，而要求你寻找的点必须是集合中的点。例如，
（0,2），（0,0）
-你不能选择
（0,1）
作为答案。我怀疑离质心最近的点可以-但你能证明它吗？我同意，它并不完美。这种关联如此美妙，我不得不把它作为一个答案。当然，对这组点进行另一次传递，以找到离“质心”最近的点从第二个thaught开始，仍然是O（n），不-它肯定不行。想想：
（0,0），（0,0），（0,0），（5000,0），（10000,0）
15000/5=3000
。最近的是
（5000,0）
，距离之和是
20000
。如果选择（0,0）求和将为15000只有当你有一个近似平坦的分布时，质心参数才起作用-它会断裂，例如在环上（质量分布的微小变化使许多内点中的一个成为最佳点）。我确信的部分是最初的断言：“在1d中，使到所有点的距离之和最小的点是中位数”。如果这是真的，我们可以使用线性时间中位数算法在O（n）中解决这个问题。是的，在一维中，它可以在线性时间中解决。但在二维中，问题是点：（，）可能不是输入点。这是“质心”再次论证：它需要一个平坦（且密集）的空间分布points@EugenRieck我不明白你的意思。我没有计算重心。没有看到你的算法是如何在O（nlogn）中完成的。根据你的描述，你计算数组中每个元素的水平/垂直成本，这个成本是O（n）.有n个这样的元素，表示O（n^2）。我误解了什么吗？
minDist=inf
bestPoint = null
for p1 in points:
    dist = 0
    for p2 in points:
        dist+=distance(p1,p2)
        //This will weed out bad points rather fast
        if dist>=minDist then continue(p1)
    /*
    //Unnecessary because of new line above
    minDist = min(dist,minDist)
    bestPoint = argmin(p1, bestPoint)
    */
    bestPoint = p1

//assumes points are numbered 0..n
dist[]=int[n+1]; //initialized to 0
for (i=0;i<n;i++)
  for (j=i+1;j<=n;j++) {
    dist=dist(p[i], p[j]);
    dist[i]+=dist;
    dist[j]+=dist;
  }
minDist=min(dist);
bestPoint=p[argmin(dist)];