Algorithm 我不知道'；我不理解这个算法'；时间复杂度

在我做的一个练习中，发现一个复杂度为：T（n）=c+2T（n）的算法−(一)

可由 T（n）=c⋅2n，其复杂度为O（2^n）

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有人知道怎么做吗？

对于某些常数

c>0

，我们有一个递归关系

T（n）=c+2*T（n-1）

。我们还需要一个边界条件，否则递推不成立。让我们假设

T（1）=c

计算前几个值，

T（2）=c+2c

，

T（3）=c+2c+4c

，我们很想推测

T（n）=c*（2^n-1）

让我们通过对

n

的归纳来证明这一点。对于基本情况，当

n=0

时，我们有

T（1）=c*（2^1-1）=c*1=c

，这是可以的

现在假设

T（k）=c*（2^k-1）

对于所有

k@blazs的答案似乎是正确的。如果这有助于你理解，那就太好了。这是一个像我这样的视觉学习者的答案


您提供的递归是：
T（n）=c+2T（n−1） 


因此，在递归树的每个节点上，您都执行一个常量工作
c
。假设您在每个节点上所做的工作是恒定的，如果您可以找到树中节点总数的上限，那么您已经找到了复杂性

根据您的递归，您有效地将一个大小为n的问题分解为两个大小为n-1的问题。因此，在每一个级别上，树实际上都会增长到上一级别上最大大小的两倍。它是一个深度为n的完全二叉树。2完整二叉树中的节点总数由简单公式（2n-1-1）给出


乘以2，我们得到的节点数与2n-2成正比因此，由递归表示的复杂性为=O（2n）。


一些有用的观点：

一,。在递归树的方法中，算法的复杂度等于树的每一级所做的工作之和。

二,。高度

三,。在数学StackExchange上给出了一个很好的解释

四,。通过解决两个大小为n-1的问题，您可以看到您是如何解决大小为n的问题的。因为每个子问题都要解决多次，所以最终的复杂性是指数级的。如果只解决一次n-1大小的问题，然后将其缓存以供将来查找，会发生什么情况？您将大大降低这个问题的复杂性，从O（2n）降低到O（n）！！这种缓存被称为记忆化，这种只解决一次子问题的方法有一个流行而可怕的名字动态编程
尝试在n上进行归纳的前几次迭代。这是一种很好的直观解释——可视化函数的调用树。但从形式上看，这是因为证明高度为n的完全二叉树有许多节点需要对树的高度进行归纳。（当然，在这种情况下，这是一个完全可以接受的论点，因为每个程序员/计算机科学家都应该熟悉有关二叉树的基本事实。）@blazs：在一个完整的二叉树中，不一定需要归纳法来求节点的和。有很多方法。“就我个人而言，我使用几何级数求和的公式来计算节点总数，”他解释道。另外，如果您想了解我在脚注#2中提供的链接，它会使用替换。@blazs:由您决定。你也可以离开他们，因为其他人可能有同样的问题。