Algorithm 如何在多集求和中找到第K个最小元素？

需要一些帮助来设计一个算法来解决这个问题

设a和b为带a的整数≤ b、 让[a，b]表示集合{a，a+1，a+2，…，b}。假设给我们n这样的集合[a1，b1]，…[an，bn]，它们的多集和是

S={a1，a1+1，…，b1，a2，a2+1，…，b2，…，an，an+1，…，bn}

例如，[5,25]、[3,10]和[8,12]的多集和是

{3,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10，…，25}

给定集合[a1，b1]，…，[an，bn]，使得0≤ 哎，比≤ N和一个整数k>0，设计了一个有效的算法，输出S中的k个最小元素，即集合的多集和。根据n和n确定算法的运行时间。

我已经设计了两个助手算法，分别称为FindElementsBefore（x[a1，b1]…[an，bn]）和FindElementsAfter（x[a1，b1]…[an，bn]）。它们都接受一个元素x和每个集合，并分别返回S中小于x和大于x的元素数

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我的教授告诉我，使用这两种辅助方法，我应该能够解决上述问题，但我完全被难住了。如何解决此问题？

使用二进制搜索。

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您已经知道多集总和中的最大值和最小值。因此，第k个最小元素有一个上界和下界。现在，您可以简单地在上下界递归，具体取决于

FindElementsBefore（mid，…）的值。二进制搜索怎么样？在
O（n^2）
中，您的问题有一个解决方案。你想要更好吗？我不确定，但也许
O（n）
是可能的。这就是答案。以O（n log n）运行时结束，其中n是S中不同数字的数量，n是被求和的集合总数