Algorithm 子工厂模素数（！n mod p）

有没有一种简单的方法来实现

！n mod p

（）

其中n≤ 2.∗10^8

和

p

是素数，而

p<1000

---

程序必须快速执行，这样简单的方法就不起作用了。

有递归公式（

！n=（n-1）（！（n-1）+！（n-2））

），为什么不实现“乘法模

p

”和“加法模

p
”？
结果是
！n mod p
是周期性的，周期为
2p
。这样我们就可以计算
！n模p
为
！（n mod 2p）mod p
，这是我们用失调的递归公式所做的
！n=（n-1）（！（n-1）+！（n-2））

为了证明：


请注意
！（p+1）=0 mod p
，由紊乱的递归关系确定
工作模p，
！（n+p）=！p*！n
（这可以通过前面的观察归纳证明）
请注意
！p=-1模p
。维基百科提供了一个公式：
！n=n！-求和[（n选择i）*！（n-i），i=1..n]
--模p，右侧唯一的非零项出现在
i=n
处
得出结论：
！（n+2p）=！PPn=！n mod p

从证明中，我们看到我们实际上可以计算
！n=±！（n mod p）mod p
当
n mod 2p
小于
p
时符号为正时，SteveJessop与链接中的符号相同吗？@Luchian:是的，子成分是紊乱的数量。@LuchianGrigore-不明显，这是它的意思。我不知道你为什么还原了我的编辑。。。显然他不想计算n mod p。如果你想删除C++标签，它与此无关。既然<代码> p＜1000 <代码>，那么如果错乱是周期性的mod <代码> p<代码>，则可能值得研究。例如，前几个
1、0、1、2、9、44、265、1854、14833、133496、1334961、14684570、176214841、2290792932
是周期性的mod
2
，周期为2：奇偶。。。；我敢肯定这一点永远适用，对于其他数字也是如此！n mod p
似乎是周期性的，周期
2p
（对于奇数p），因此这提供了一个简单的算法来计算所需的值。不过，您可能想尝试证明周期性。对于
n
那么大？太慢了。@Vlad:我觉得太慢了，因为它可能需要大约400米的操作。执行时间大约是0,2秒。n乘法需要的时间太长了。我相信有一些聪明的方法可以减少这个问题，因为p限制是p<1000。@BugMeNot-这是一个非常重要的限制！请将其与任何其他信息一起添加到OP中。考虑到这一关系可能是一种有效的前进方式。如果你记忆函数
f（a，b，c）{return（a-1）（b+c）%p}
，那么你最坏需要10亿个给定值
p<1000
。但是Nabb观察到上面的
！n mod p
似乎是周期性的，周期比这短，所以实际上需要的时间更少。再加上一些循环检测，您可能会很快得到值。这不需要做任何数学计算——最好提前证明一些很好的公式，比如
2*p
，来计算周期长度，但考虑到0.2s的时间限制，可能没有必要：-）