Math 如何计算3D中点的偏航、俯仰和横摇？

给定三维空间中的一个点，将直线变换为指向该对象的点所需的三个角度（例如欧拉角）是什么

假设我有一条三维直线（或一个长方体），我想将它的方向、俯仰和倾斜变换为从原点指向三维点，我将使用哪些值来表示这些角度

我无法计算出指向某个位置的角度的数学公式，例如

（1,2,3）

注：我将使用定义为的惯例“航向、俯仰、横摇”，而不是“偏航、俯仰、横摇”

首先，请注意，在二维坐标系中，“点”到二维中的任何点只需要一个角度+幅值

类似地，在三维坐标系中，可以将+幅值设置为指向三维中任意点的“点”。最后一个角度（“倾斜”或“滚动”）不会影响点在三维中的位置。相反，它“旋转”指向它的箭头。如果对象是360度对称的，则根本看不到旋转影响对象。如果物体不对称（如飞机），则会影响物体（如一个机翼向地面倾斜，另一个机翼向天空倾斜）

所以最初的问题实际上变成了，“我如何找到指向三维空间中任意点的航向角、俯仰角和大小？”

使用三角函数可以很容易地解决这个问题。假设我们有一个点

（1,2,3）

，我们试图计算航向、俯仰和震级

对于以下示例，让我们使用此图，其中左轴是X，上轴是Y，右轴是Z。点

（1,2,3）

，然后由蓝色球体表示

1.找到震级 首先，让我们找到最简单的值，大小。幸运的是，无论我们处在多少维中，只要使用。由于我们在3D中，并且我们正在计算从原点到点的距离，因此我们的距离公式为：

magnitude = sqrt(x*x + y*y + z*z)

插入我们的实际值：

magnitude = sqrt(1*1 + 2*2 + 3*3)
          = 3.7416573868

heading = atan2(3, 1)
        = 1.249045772398

所以我们的量级（或长度）是~

3.741

2.找到标题 接下来，要找到航向，请注意，我们只关心围绕XZ平面的旋转，而根本不关心Y轴。如果我们要将三维空间“展平”为二维空间，那么它就是

我们可以画一个与X轴成90度角的三角形（红色三角形），然后计算这个角度。从三角函数中调用

tan（角）=对向/邻接

，求解

角

，我们得到

角=arctan（对向/邻接）

在这种情况下，“相邻的”是一个已知的数量（

red相邻=x=1

），而“相反的”也是已知的（

redOpposite=z=3

）。我们不想用arctan来解方程，而是想用arctan，因为它可以处理x和y的所有不同情况

因此，我们：

heading = atan2(redOpposite, redAdjacent)

插入我们的实际值：

magnitude = sqrt(1*1 + 2*2 + 3*3)
          = 3.7416573868

heading = atan2(3, 1)
        = 1.249045772398

所以我们的航向是

1.249

rad，或者~

72°

3.找到球场 最后，我们需要找到球场。与我们对航向所做的类似，我们可以沿着包含这三个点的平面将3D空间展平为2D：（A）原点

（0,0,0）

，（B）我们的点

（1,2,3）

，以及（C）我们的点投影到XZ平面

（1,0,3）

（例如，通过设置Y值为0）

如果我们在这三个点之间画一个三角形，你会注意到它们再次形成一个直角三角形（绿色三角形）。我们可以再次使用

arctan2

简单地计算角度

我们已经在步骤1中计算了绿色斜边（即向量的大小）：

我们还知道绿色三角形的对立面与y值相同：

greenOpposite = y
              = 2

使用毕达哥拉斯定理，我们可以找到相邻角的长度：

greenOpposite^2 + greenAdjacent^2 = greenHypotenuse^2
y*y + greenAdjacent^2 = x*x + y*y + z*z
greenAdjacent^2 = x*x + z*z
greenAdjacent = sqrt(x*x + z*z)

请注意，计算绿色三角形相邻长度的另一种方法是注意

红色斜边==绿色相邻

，我们可以使用以下方法找到

红色斜边

：

redHypotenuse^2 = redAdjacent^2 + redOpposite^2
                = x*x + z*z
redHypotenuse = sqrt(x*x + z*z)

插入实际值，我们得到：

greenAdjacent = sqrt(1*1 + 3*3)
              = 3.1622776602

现在我们知道了绿色三角形的相邻和相对长度，我们可以再次使用

arctan2

：

pitch = atan2(greenOpposite, greenAdjacent)
      = atan2(2, 3.1622776602)
      = 0.563942641356

因此，我们的音高为

0.5634

弧度，或约为

32°

结论 如果要从原点画一条线，长度为

3.741

，航向为

1.249

rad，俯仰为

0.564

rad，它将从

（0,0,0）

延伸到

（1,2,3）

注：我将使用由定义的惯例“航向、俯仰、倾斜”

首先，请注意，在二维坐标系中，“点”到二维中的任何点只需要一个角度+幅值

类似地，在三维坐标系中，可以将+幅值设置为指向三维中任意点的“点”。最后一个角度（“倾斜”或“滚动”）不会影响点在三维中的位置。相反，它“旋转”指向它的箭头。如果对象是360度对称的，则根本看不到旋转影响对象。如果物体不对称（如飞机），则会影响物体（如一个机翼向地面倾斜，另一个机翼向天空倾斜）

所以最初的问题实际上变成了，“我如何找到指向三维空间中任意点的航向角、俯仰角和大小？”

使用三角函数可以很容易地解决这个问题。假设我们有一个点

（1,2,3）

，我们试图计算航向、俯仰和震级

对于以下示例，让我们使用此图，其中左轴是X，上轴是Y，右轴是Z。点

（1,2,3）

，然后由蓝色球体表示

1.找到震级 首先，让我们找到最简单的值，大小。幸运的是，任意两点之间的大小（长度）很容易确定