Algorithm 无需作图求多项式最大值/最小值的算法

对于形式为y=a*x^2+b*x+c的二次方程，最大/最小值出现在x=-b/2a处。对于更高的多项式（x>=4），有没有像这样的硬性方程。对于这样的多项式，我在网上找到的解决方案建议绘制曲线并找到。如何在不作图的情况下找到绝对最大值？

如果您只处理多项式，那么您应该检查。我不会详细介绍这背后的数学理论，也不会详细介绍所需的C代码，您可以找到完整的参考资料。但是，下面是算法的示意图：

将多项式解析为函数

f

计算

f

的导数，称之为

g

（

f'

）

在指定的时间间隔内（可能是

[MININT，MAXINT]

或类似的方法），使用您最喜欢的数值方法查找

g

的零

给出上述各点的列表，对各点的

f

进行评估

还应在第3点使用的搜索间隔的上下限中计算

f

保留第4点和第5点的最大值和最小值。这些是绝对最大值和最小值

特别是，第6点的索赔有以下证据支持

<强>注释< /强>如果你考虑任何限制区间外的多项式（即从-INF到+INF），那么它们是无界的，在这一意义上，它们的最大值或最小值（或两者）都是不相等的。您可能对有限的max/min（如果存在）感兴趣。您可以检查最大值或最小值是否假定为无穷大，但您无法从上面的算法中找到这一点，因为计算会对值施加数值界限：

如果多项式有奇数次，则

min=-inf

和

max=+inf

如果多项式的阶数为偶数，则

max

和

min

之间的一个阶数是有限的

---

你可以用次多项式的sympy来解析地解决这个问题。是的，你在寻找微分学，数学的一个分支，而不是编程。你的问题在这里离题了。这个问题似乎离题了，因为它属于“最大/最小发生在x=-b/2a。”-不完全是。以最大值为例。只有当

a

为负值时，你所说的才是真的。否则，曲线的两边都是无穷大的。找到最大值和最小值与微分和找到零点是一样的。在这里，您可以找到一个python实现，它可靠地求解方程直到4阶，然后使用牛顿方法：也许用非正替换“负”？你也可以完全忽略二阶导数；将使代码x2变慢，但更易于编写/理解。@anatolyg“non-positive”将同时包含最小值和拐点（尽管我认识到在浮点世界中检查0可能是危险的）。无论如何，我修改了算法，因为OP同时需要最小值和最大值，所以不再检查二阶导数：）“你也可以为阶多项式求解这个问题，仅解导数=0方程是不够的。函数可能没有界（它会达到+/-无穷大）。特别是，奇数次的多项式将是无包的，偶数次的第一个系数为正的多项式将有一个最小值，第一个系数为负的多项式将有一个最大值。@KarolyHorvath我的意思是，对于大于5次的多项式，此方法将失败（使用Symphy）因为没有一个分析性的解决方案。@Peterderivez:那就是糟糕的措辞。你这样说是为了一般的概念，而不是为了sympy的实现。将限制移到那一段可以解决问题；）

from sympy import solve
from sympy.abc import a,b,c,d,e,x
f=a*x*x*x*x+b*x*x*x+c*x*x+d*x+e
A=solve(f.diff(x),x)
for sol in A:
    print sol

(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)*(1/2 + I*3**(1/2)/2) - (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))/((1/2 + I*3**(1/2)/2)*(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)) - b/(4*a)

(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)*(1/2 - I*3**(1/2)/2) - (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))/((1/2 - I*3**(1/2)/2)*(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)) - b/(4*a)

(c/(6*a) - b**2/(16*a**2))/(((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3) - b/(4*a) - (((d/(4*a) - b*c/(8*a**2) + b**3/(32*a**3))**2/4 + (c/(6*a) - b**2/(16*a**2))**3)**(1/2) + d/(8*a) - b*c/(16*a**2) + b**3/(64*a**3))**(1/3)