Algorithm DPLL算法定义

我在理解DPLL算法时遇到了一些问题，我想知道是否有人可以向我解释，因为我认为我的理解是错误的

我理解它的方式是，我取一些文本集，如果某个子句为真，则模型为真，但如果某个子句为假，则模型为假

我通过查找unit子句递归地检查模型，如果有，我设置unit子句的值使其为真，然后更新模型。删除所有现在为true的子句并删除所有现在为false的文本

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当没有留下任何单位子句时，我选择任何其他文本并为该文本赋值，使其为真，使其为假，然后再次删除所有现在为真的子句和所有现在为假的文本。

DPLL要求以析取范式说明问题，即作为一组子句，每一项都必须得到满足

每个子句都是一组字面值

{l1，l2，…，ln}

，表示这些字面值的析取（即，至少有一个字面值必须为true才能满足子句的要求）

每个文本

l

断言某个变量为真（

x

）或为假（

~x

）

如果子句中的任何文字为真，则满足该子句

如果一个子句中的所有文字都为false，则该子句是不可满足的，因此问题是不可满足的

解决方案是将真/假值分配给变量，以便满足每个子句。DPLL算法是针对此类解决方案的优化搜索

DPLL本质上是一种在三种策略之间交替进行的深度优先搜索。在搜索的任何阶段都有部分赋值（即，将值赋值给变量的某个子集）和一组未确定的子句（即，尚未满足的子句）

（1） 第一种策略是纯文字消除：如果未赋值变量

x

仅以其正形式出现在未确定子句集中（即，文字

~x

不出现在任何地方），那么我们可以将

x=true

添加到赋值中，并满足包含文字

x

的所有子句（类似地，如果

x

仅以负数形式出现，

~x

，我们可以将

x=false

添加到作业中）

(二)第二种策略是单元传播：如果一个未决定子句中除了一个以外的所有文本都是false，那么剩下的一个必须是true。如果剩下的文本是

x

，我们将

x=true

添加到赋值中；如果剩下的文本是

~x

，我们将

x=false

添加到赋值中。这个赋值可以为单位传播带来更多机会

（3） 第三种策略是简单地选择一个未赋值变量

x

并分支搜索：一方尝试

x=true

，另一方尝试

x=false

如果在任何时候，我们以一个不可满足的条款结束，那么我们已经到达了一个死胡同，必须回溯

有各种各样聪明的进一步优化，但这是几乎所有SAT解算器的核心

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希望这能有所帮助。

Davis–Putnam–Logemann–Loveland（DPLL）算法是一种基于回溯的搜索算法，用于确定合取范式中命题逻辑公式的可满足性，也称为可满足性问题或SAT

任何布尔公式都可以用合取范式（CNF）表示，这意味着子句的合取，即（…）^（…）^（…）

其中，子句是布尔变量的析取，即（a v B v C’v D）

以CNF表示的布尔公式示例如下：

（A v B v C）^（C'v D）^（D'v A）

解决SAT问题意味着在公式中找到满足它的变量值的组合，比如A=1，B=0，C=0，D=0

这是一个NP完全问题。实际上，这是Stepehn Cook和Leonid Levin证明的第一个NP完全问题

SAT问题的一种特殊类型是3-SAT，这是一种所有子句都有三个变量的SAT

DPLL算法是解决SAT问题（实际上取决于输入的硬度）的一种方法，它递归地创建一个潜在解决方案树

假设你想解决这样一个3-SAT问题

(A v B v C)(C'v D v B)(B v A'v C)(C'v A'v B))

如果我们枚举A=1 B=2 C=3 D=4这样的变量，并为A'=-1这样的负数，那么同样的公式也可以用Python编写，如下所示

[1,2,3]，-3,4,2]，[2，-1,3]，-3，-1，-2]]

现在设想创建一棵树，其中每个节点由一个部分解组成。在我们的示例中，我们还描述了该解满足的子句向量

根节点是[-1，-1，-1，-1]，这意味着尚未为变量0或1分配任何值

在每次迭代中：

那么，我们接受第一个不满意的条款

如果没有更多的未分配变量可以用来满足该子句，那么在搜索树的这个分支中就不会有有效的解，算法将返回无

否则，我们取第一个未赋值变量，并将其设置为满足子句，然后从步骤1递归开始。如果算法的内部调用返回None，我们翻转变量的值，使其不满足子句，并设置下一个未赋值变量以满足子句。如果所有三个变量已尝试les，或者该子句没有更多未分配变量，这意味着该分支中没有有效的解决方案，算法将返回None

请参见以下示例：

我们从根节点选择第一个子句（avb）的第一个变量（A）