Algorithm 最长公共子序列，在所有三种可能情况下取最大值

我接近最长的公共子序列，如下所示：

LCS(m,n) = max( LCS(m-1,n), LCS(m,n-1), LCS(m-1,n-1) + (String1[m]==String2[n]) );

然而，文本显示问题的逻辑如下：

if( String1[m]==String2[n] )
    LCS(m,n) = LCS(m-1,n-1) + 1;
else LCS(m,n) = max( LCS(m-1,n), LCS(m,n-1) );

我的方法会产生错误的结果吗？如果是，那么在什么样的情况下？如果它是正确的，你如何证明它的正确性

提前谢谢

我的（糟糕的）Java版本，它运行正常吗

//'main' method must be in a class 'Rextester'.
//Compiler version 1.8.0_111

import java.util.*;
import java.lang.*;

class Rextester
{
    public static void main(String args[])
    {
        int[] a = {1,1,1,1,2,3,2,3};
        int[] b = {1,1,1,1,3,4,3,4};
        System.out.println(solve(a, b).toString());
        System.out.println(solve2(a, b).toString());
    }

    private static void printL(int[][]len, int m, int n, int[] a, int[] b)
    {
        System.out.print("  a→ ");
        for (int j = 0; j < m; ++j)
        {
            System.out.print(a[j]);
            System.out.print(" ");
        }
        System.out.println();
        for (int i = 0; i <= n; ++i)
        {
            if (i > 0) { System.out.print(" "); System.out.print(b[i-1]); System.out.print(" "); }
            else { System.out.print("b↓ "); }
            for (int j = 0; j <= m; ++j)
            {
                System.out.print(len[i][j]);
                System.out.print(" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    private static List<Integer> solve(int[] a, int[] b)
    {
        int m = a.length;
        int n = b.length;
        System.out.println("Method 1");

        int[][] len = new int[n+1][m+1];
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < m; ++j)
                len[i+1][j+1] = a[j] == b[i] ? 1 + len[i][j] : Math.max(len[i+1][j], len[i][j+1]);
        printL(len, m, n, a, b);


        List<Integer> c = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = n - 1, j = m - 1; len[i+1][j+1] > 0;)
        {
            if (a[j] == b[i]) { c.add(a[j]); i--; j--; }
            else if (len[i+1][j] < len[i][j+1]) i--;
            else j--;
        }
        Collections.reverse(c);
        return c;
    }

    private static List<Integer> solve2(int[] a, int[] b)
    {
        int m = a.length;
        int n = b.length;
        System.out.println("Method 2");

        int[][] len = new int[n+1][m+1];
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < m; ++j)
                len[i+1][j+1] = Math.max(Math.max(len[i+1][j], len[i][j+1]), (a[j] == b[i] ? 1 : 0) + len[i][j]);
        printL(len, m, n, a, b);

        List<Integer> c = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = n - 1, j = m - 1; len[i+1][j+1] > 0;)
        {
            if (a[j] == b[i]) { c.add(a[j]); i--; j--; }
            else if (len[i+1][j] < len[i][j+1]) i--;
            else j--;
        }
        Collections.reverse(c);
        return c;
    }
}

我的粗略证明：

如果您查看上表中的任何行LCS（m），您将看到它们都有递增的值，或者它们都是单调递增的。它们不能减少，因为LCS（m，n）表示长度为m的（sub）string1和长度为n的（sub）string2的最长公共子序列，如果n2>=n1，则LCS（m，n2）>=LCS（m，n1），因为如果n2>=n1，LCS（m，n2）包含LCS（m，n1）

---

对于LCS（n）列，使用相同的证明。现在有了LCS（m，n）LCS（m-1，n）），但后一种情况

（LCS（m-1，n-1）>LCS（m，n-1）

或

LCS（m-1，n-1）>LCS（m-1，n））

从未发生过。所以你的方法是正确的。

我认为它会奏效。画一张表并检查它。在表中的任何条目，我都找不到LCS（m-1，n-1）>LCS（m-1，n）或LCS（m-1，n-1）>LCS（m，n-1）的条目。不过我还在做一个可靠的证明…很好！另外，我们可以说abs（LCS（m，n-1）-LCS（m-1，n-1））

Method 1
  a→ 1 1 1 1 2 3 2 3 
b↓ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 
 1 0 1 2 3 3 3 3 3 3 
 1 0 1 2 3 4 4 4 4 4 
 3 0 1 2 3 4 4 5 5 5 
 4 0 1 2 3 4 4 5 5 5 
 3 0 1 2 3 4 4 5 5 6 
 4 0 1 2 3 4 4 5 5 6 
[1, 1, 1, 1, 3, 3]
Method 2
  a→ 1 1 1 1 2 3 2 3 
b↓ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 
 1 0 1 2 3 3 3 3 3 3 
 1 0 1 2 3 4 4 4 4 4 
 3 0 1 2 3 4 4 5 5 5 
 4 0 1 2 3 4 4 5 5 5 
 3 0 1 2 3 4 4 5 5 6 
 4 0 1 2 3 4 4 5 5 6 
[1, 1, 1, 1, 3, 3]