Algorithm 为什么寻找最大割集是NP困难的？

我最近发现在带权边的图中寻找最大割是NP困难的。然而，找到最小割并不是NP难的。

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如果我将所有边上的权重求反，然后搜索最小割集，这不就是原始图上的最大割集吗？如果不是，为什么？

一个图的最大截不是一个具有反向权重的图的最小截。考虑下面的图表：红线是最小割和绿max割。< /P> 如果你所说的“逆”是指“逆”，那么事实上，为一个求最大值就等于为另一个求最小割。证据很简单

设G是任意图，G'是具有相反权重的图。设

v_1，…，v_n

为要移除的顶点序列，以对G进行最大切割，

w_1，…，w_n

为相关权重<代码>M=w_1+…+w_n=最大（切割）。显然，

vu 1，…，vu n

是G'中的一个切口。设

v''u 1，…，v''u m

为G'中的任意切割，且

w''u 1，…，w''u n

其权重为G'

然后，

vu-1，…，vu-m

也是一个权重

-（wu-1+…+wu-q）

。根据M的定义，我们有

-（w''u 1+…+w''u q）=-M

。所以我们得到-M是G'中的最小切割值，

v_1，…，v_n

实现了这个值，它是G'的最小切割

至于为什么这不是一个容易解决的问题，请参见

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彼得·德·里瓦兹的回答。

我假设你所说的倒数是指将权重w改为-w

在这种情况下，调整后的图的最小割确实解决了原始图的最大割问题

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不幸的是，只有当所有权重均为非负时，才知道解决最小割问题的有效算法，这意味着只有当所有权重均为非正时，我们才能有效地解决最大割问题。

要找到问题的类别（多项式或非多项式），您应该使用哪种机制将一个问题转换为另一个问题。你可以在中找到更多的讨论。

这个问题可能更适合。为了补充答案，如果所有边权重都是

1

，并且实例保持完全相同，那么提到的“权重反转”尤其引人注目。你是对的，我认为OP的意思是“相反”。我已经用相反情况的证明更新了我的答案，但这应该是可接受的答案。如果您创建一个带有

w（I）=MAX（weights）-w（I）

的图形并运行min-cut-MAX-flow会怎么样？所有权重都是正数，新图表中的最小割就是最大割。不是吗？这会导致倾向于使用较少的边，因此不完全相同